行列の積を「かけ算」と一緒にするのはたぶん、「わり算は交換可能」みたいなもんだと思う。
特段、気にしなくても使い分けているものだよ。

初等的な説明として幾何学によるのはそう筋の悪いことでもない、というか練習問題なんかでは結局、
「花壇の面積」だとか「水槽に入った水の量」だとかを計算するから、
むしろ直感がかけ算については正しく働いていることを示すのはいいことだと思う。

何にしろ、最初にかけ算を習ってから、正負の整数、有理数、無理数、複素数の積とベクトルの内積までは、交換法則が成り立ってて、
高校範囲で交換法則が成り立たないのは行列の積 (人によってはベクトルの外積も) だけなのだから、
基本的には交換法則が成り立つ、というスタンスで問題ないように思える。
実際、交換法則を使って式を整理する問題は、確認問題や基本問題でも、応用問題でも頻繁に取り扱われるのだし。