命題
A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
F を A のフィルター(過去スレ021の527)とする。
このとき、以下の条件は同値である。

(1) F は素フィルター(>>97)である。

(2) F は極大フィルター(>>96)である。

(3) A - F は素イデアル(>>100)である。

(4) A - F は極大イデアル(>>99)である。

証明
(1) ⇒ (2)
F ⊂ G、F ≠ G となる任意のフィルター G をとる。
a ∈ G - F とする。
任意の b ∈ F に対して a∨b ∈ F である。
a’を a の区間 [0, a∨b] における相対補元(過去スレ021の363)とする。
a∨a’= a∨b ∈ F より a’∈ F である。
0 = a∧a’∈ G より G = A である。
よって、F は極大フィルターである。

(2) ⇒ (1)
>>443で証明済み。

(1) ⇔ (3)
>>106で証明済み。

(3) ⇔ (4)
>>75と>>44、>>107、>>203から明らかである。
証明終