a_(n+1)={a_n + α/a_n}/2で定義します。(a_0>√α)

このときa_nが単調減少でa_n>√αを示せ。
帰納法で示す。
n=0のときa_1={a_0 + α/a_0}/2≧√(a_0*α/a_0)=√α　等号成立はa_0=αのとき
よってa_1>√α
n-1で成立するとしてnのとき
a_(n+1) = {a_n + α/a_n}/2≧√(a_n * α/a_n)=√α　等号成立はa_n=αのときのみ
帰納法の仮定によりa_n>√αとなるのでnのときも成立。
よって任意の自然数nに対してa_n>√α
a_n-a_(n+1)>0は計算よりすぐわかる。

今回自分はa_n>√αを先に求めたのですが、
問題文のように先に単調減少列であることを示すことは出来るのでしょうか？