陰関数定理を用いて行列式が1の2次の正方行列SL(2,R)が多様体であることを示せ
上の問題なんですが、下の解答であってますか？
F:R4→RをF(x,y,z,w)=x*w-y*z-1とする
SL(2,R)はＡ:＝｛(x,y,z,w)∈R4;F(x,y,z,w)=0｝と同一視できる
Ｂ:＝｛(x,y,z,w)∈R4;F(x,y,z,w)=0かつx*w≠0｝とする
(a,b,c,d)∈Ｂとすると、
∂F/∂w＝x≠0より
∃Ｕ:nbd of (a,b,c) in R3,
∃ψ:Ｕ→Ｒ
s.t.F(x,y,z,ψ(x,y,z))=0かつψ(a,b,c)=d
(a,b,c,d)∈Ｃ:＝｛(x,y,z,w)∈R4;F(x,y,z,w)=0かつy*z≠0｝のときも同様
(a,b,c,d)∈Ａとするとx*w=y*z=0とはならないのでＢまたはＣの元になる
∴Ａは多様体である
∴SL(2,R)は多様体である