t=tan(θ/2)とおく。
dθ=2/(1+t^2)
cosθ=(1-t^2)/(1+t^2)
0≦t＜∞

I=∫[x=0,2π](1/(5+4sinθ))dθ
=∫[x=0,∞](1/(5+(1-t^2)/(1+t^2))*(2/1+^2)dt
=2∫[t=0,∞]((t^2+9)^-1)dt
=∫[t=0,∞](2t/(t^2+9))*2/(2t))dt
=[log(t^2+9)*log(1/(2t))][t=0,∞]　←ここがあやしい
=(∞-log3)*(-∞+∞)・・・？？？

計算用紙を紛失してしまいました。
そちらはもう少しまともな計算になっているはずなのですが。
でも、logからπがでてくるとは思えない・・・。