log(a){x}≦log(x){a}
aは1でない正の整数とする。不等式をとけ。

解答では、log(a){x}=Xとおくと与式は
X≦1/X ⇔(X^2-1)/X≦0
　　　⇔X(X+1)(X-1）≦0
とあるのですが
こんなことしてよいのですか。だって、Xは＋か‐かこの時点では解からないのに
勝手に両辺にかけたら不等式が、めちゃくちゃになりませんか。
答えはこの後、微分を使って解いてるのですが、自分はこうしてみた↓

log(a){x}-1/log(a){x}≦0
で場合わけ　①0<a<1の時　と　②１≦aのとき　
①では不等号の向きをかえて　②はそのまま

↑こういう考え方は○ですか??
あと参考書の解答の方はどうしてああなっていたんですか