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★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第六問

■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0001１３２人目の素数さん2005/12/08(木) 09:00:00
理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ

　過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/
★東大京大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1069171672/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第4問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1099493043/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/
0002１３２人目の素数さん2005/12/08(木) 09:01:00
。
0003１３２人目の素数さん2005/12/08(木) 10:20:47
華麗に３げと、ズザー！
0004１３２人目の素数さん2005/12/08(木) 12:35:24
華麗に４げと、ズザー！
0005１３２人目の素数さん2005/12/08(木) 12:43:11
華麗に５げと、ズザー！
0006１３２人目の素数さん2005/12/08(木) 13:18:22
だからさやめとけって
ここの問題は流用されているよ。
0007１３２人目の素数さん2005/12/08(木) 16:08:11
ここでネタ収集してるんだけど、次スレが立たなくて焦ったよ。
0008１３２人目の素数さん2005/12/08(木) 17:20:00
流用って何に？
0009１３２人目の素数さん2005/12/08(木) 18:48:39
>>6
適当なこと言っていると思われたくなかったら、具体例を提示せよ
0010１３２人目の素数さん2005/12/08(木) 18:54:17
高校のテスト問題に流用とかあるかもねえ
まあ一般的な高校生が充分解けるレベルの問題なんて
ほとんど出てないと思うけど
0011１３２人目の素数さん2005/12/08(木) 20:51:38
曲線y=x-√xと直線y=ax+bがただ1つの共有点を持つa,bの条件を求めよ。
0012GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w 2005/12/08(木) 21:05:09
talk:>>11 bが0より大か0より小かで場合わけだな。
0013１３２人目の素数さん2005/12/08(木) 21:15:25
ウム。
0014１３２人目の素数さん2005/12/08(木) 22:39:49
1＋1＝2を証明しろ
0015１３２人目の素数さん2005/12/08(木) 23:55:18
とりあえず数学の問題の著作権については
どんな感じになってますか？
0016１３２人目の素数さん2005/12/09(金) 02:20:14
結構微妙
日本ではあまり気にしなくて良いと思う
外国では結構severeで、大学入試問題を
勝手にうｐしたりすると問題になったりする
まあそれ言い出すと、数学の定理や証明の著作権は？とかそういう問題になるしね
証明の著作権なんて認められた日にゃ数学が終わる

国語の大学入試問題の、問題文の著作権は今ちょうど問題になってる
ttp://www.gakushuin.ac.jp/~881791/d/0511.html#02
0017１３２人目の素数さん2005/12/09(金) 03:02:35
ｑ
0018１３２人目の素数さん2005/12/09(金) 04:51:22
>>11
{a<1∧4(a-1)b=1}∨{1<=a∧b<=0}
>>14
…
0019１３２人目の素数さん2005/12/10(土) 15:47:32
ちょっと簡単すぎかも・・・

平面上に3つの円が並んでおり、それらの3つの中心は一直線上にはない。
また、一番左にある円と真ん中にある円は2点を共有し、
一番右にある円と真ん中にある円も2点を共有し、
一番右にある円と一番左にある円に共有点はない。
このとき、うまく点をとれば、その点からこれらの3つの円に
引いた6本の接線の接点が同一円周上にあるようにできることを示せ。
0020１３２人目の素数さん2005/12/10(土) 16:05:03
以下の漸化式で定まる数列a[n]の一般項を求めよ。

a[1]=2-√3
a[2]=1
a[3]=2+√3
a[n+2]=(a[n+1]+a[n]-a[n-1]+a[n+1]a[n]a[n-1])/(1-a[n+1]a[n]+a[n]a[n-1]+a[n-1]a[n+1])
0021１３２人目の素数さん2005/12/10(土) 16:23:56
このスレで今までに出た問題で一番の傑作は？
0022１３２人目の素数さん2005/12/10(土) 16:45:10
(1)a^3+1/a^3を因数分解せよ
(2)x^3-3x+5=0を解け。
0023１３２人目の素数さん2005/12/10(土) 22:21:30
>>19
まず中心間の距離＞半径の和となる円C1,C2とこれら２円と２点づつを共有する
直線LにたいしてC1、C2、Lと直交する円が存在する円が存在することをしめす。
C1の半径をr1、C2の半径をr2とする。C1、C2の中心をO1、O2とする。
C1とLの共有点P1、Q1とC2とLの共有点P2、Q2がQ1、P1、P2、Q2の順でならんでいるとする。
L上の動点XをP1からP2へうごかす。f(X)をf(X)=√(|XO1|^2-r1^2)-√(|XO2|^2-r2^2)
でさだめるとfは連続関数でf(P1)<0、f(P2)>0であるからf(R)=0となる点が線分P1P2上にとれる。
この点RをとおるC1の接線の接点をA1、B1、C2の接線の接点をA2、B2とすれば
RA1=RB1=RA2=RB2であるからこの値をrとおくとRを中心とする半径rの円がもとめる円である。
であとは例によって円円対応の原理で以下ry
･･･円円対応飽きた。
0024１３２人目の素数さん2005/12/11(日) 20:01:29
>>23
>>19は方べきの定理で一発なのでは？
0025１３２人目の素数さん2005/12/11(日) 20:44:46
>>24
どうやんの？
0026１３２人目の素数さん2005/12/11(日) 20:47:44
age
0027１３２人目の素数さん2005/12/11(日) 21:35:22
曲線y=e^xとy=1/x-1、およびx軸、y軸とで囲まれた部分の面積が1より小さいことを示せ。
0028１３２人目の素数さん2005/12/11(日) 21:43:19
>>27
それって
{0≦x≦1/2、0≦y≦2x+1}∪{1/2≦x≦1、0≦y≦-2x+2}
にふくまれちゃうんじゃね？
0029１３２人目の素数さん2005/12/12(月) 21:58:26
三角ABCの内接円、外接円の半径をそれぞれｒ、Rとするとき
R≧2ｒを示せ。
0030１３２人目の素数さん2005/12/12(月) 22:25:19
だから宿題をココに投下するなって
0031１３２人目の素数さん2005/12/12(月) 22:28:06
>>29
それ京大の過去問になったことあるんじゃね？なんか見たことある。
（解）A,B,Cの対辺の長さをa,b,c、面積をSとして
S=(1/2)(a+b+c)r=(1/2)(sinA+sinB+sinC)Rr
S=(1/2)R^2sinA+(1/2)R^2sinB+(1/2)R^2sinC
により2r/R=(sin2A+sin2B+sin2C)/(sinA+sinB+sinC)
和積公式から
sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC、sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
∴2r/R=8sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
一方で-logsin(x/2) (0＜x＜π)の凸性から
-(logsin(A/2)+logsin(B/2)+logsin(C/2))/3≧-logsin(((A+B+C)/3)/2)=-log(1/2)
∴sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)≦(1/8)
∴2r/R≦1 (等号はA=B=C=π/3のとき)
0032１３２人目の素数さん2005/12/12(月) 22:36:16
ではさらに、内接円、外接円の中心をそれぞれ　I、Oとするとき、
IO＾2＝R＾2−2Rr　を示せ。
0033１３２人目の素数さん2005/12/12(月) 22:45:20
お約束問題は東大に相応しくない。
0034１３２人目の素数さん2005/12/12(月) 22:58:21
>20
a[n] = tan(θ[n]) とおくと、
θ[1] = π/12,
θ[2] = 3π/12,
θ[3] = 5π/12,
θ[n+2] = θ[n+1]+θ[n]-θ[n-1].
以下ry)
0035１３２人目の素数さん2005/12/12(月) 23:11:13
>>32
これ計算爆発するな。ホントに受験の答案にかける量におさまるん？
0036１３２人目の素数さん2005/12/12(月) 23:13:13
>>35
所等幾何で証明可。
0037１３２人目の素数さん2005/12/12(月) 23:25:58
>>36
なるほど。始点をOにして(sinA+sinB+sinC)OI↑=(sinA)a↑+(sinB)b↑+(sinC)c↑
とかしてIO^2/R^2=1-2r/Rの両辺をA,B,Cの三角比で表わして･･･できた式をみて目が
点になった。ちなみにせっかくだからかかせてもらうと
IO^2/R^2
=((sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2+2sinAsinBcos2C+2sinBsinCcos2A+2sinCsinAcos2B))/(sinA+sinB+sinC)^2
1-2r/R
=1-8sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
A=π/2、B=C=π/4のとき正しいのでたぶんここまであってるんだろうーなーと。
でA+B+C=πのとき等しいことしめしてやろーと思ってやんなった。
0038１３２人目の素数さん2005/12/12(月) 23:27:13
>>36
ヒントおながいします。面積？
0039１３２人目の素数さん2005/12/12(月) 23:45:00
>>35
有名問題
0040372005/12/12(月) 23:46:27
>>37の方針でもできんことはないな。
　
(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2+2sinAsinBcos2C+2sinBsinCcos2A+2sinCsinAcos2B
=(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2+2sinAsinB+2sinBsinC+2sinCsinA
　-4sinAsinB(sinC)^2-4sinBsinC(sinA)^2-4sinCsinA(sinB)^2
=(sinA+sinB+sinC)^2-4sinAsinBsinC(sinA+sinB+sinC)
∴IO^2/R^2=1-4sinAsinBsinC/(sinA+sinB+sinC)=1-(sin2A+sin2B+sin2C)/(sinA+sinB+sinC)=1-2r/R。
　
できなくはないが･･･エレガントな香具師がしりたい。
0041１３２人目の素数さん2005/12/12(月) 23:47:15
>>39
まじっすか？なににのってる？
0042１３２人目の素数さん2005/12/12(月) 23:54:04
>>41
初等幾何の有名な本には結構載ってるよ
一寸初等幾何関係の本は実家に置いてきちゃったから
具体的に今確認は出来ないけど
0043１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 00:13:16
と、あっさりレスが来るくらいだから、天才or幾何ヲタ問題でしかないな。

>>41
清宮の本か数オリ対策本辺りで見た希ガス。
適当にあさればすぐに見つかるよ。
0044１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 00:16:43
>>42-43
thx。しかし初等幾何の本っつーのが一番さがしにくい。大学にはもちろんあんまないわけだし。
数オリの対策本なんかあるわけねーw。もしみつかったら>>32のエレ解おしえたってくらはい。
0045１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 00:19:35
センターの過去問（誘導付き）にあり。
0046１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 00:30:51
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=R%EF%BC%BE2%EF%BC%8D2Rr&lr=
今井塾がどうのとかいうのは無視しましょう
0047１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 00:30:57
>>45
おお、それならさがせなくもない･･･かな？だいたい何年くらいまえとかそのくらいわからねすか？
0048１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 00:50:01
>>47
2002年本試験　数１Ａ　４番
ttp://hiw.oo.kawai-juku.ac.jp/nyushi/center/02/exam/212/12.html
ttp://hiw.oo.kawai-juku.ac.jp/nyushi/center/02/exam/212/13.html
0049１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 00:53:11
>>48
WOW!! GJ!!! これで心おきなく寝られる。thx a lot!!!
0050１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 01:07:31
>41
寺坂英孝: ｢初等幾何学｣第2版, 岩波全書159 (1973)
§75 の "オィラーの関係"

http://mathworld.wolfram.com/EulersInequality.html
http://mathworld.wolfram.com/EulerTriangleFormula.html
0051１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 01:26:58
>>29
不等式への招待２
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/496-497
0052１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 03:07:32
>>34
すごい！！
0053１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 03:18:20
以下の命題は任意の実数の組(x，y)について成り立つか？
成り立つなら証明をし、成り立たないなら成り立たない実数の組(x，y)を全て求めよ
命題：「適当な実数aを用いてx=ap，y=a^2qと定めれば、p＞qとできる」
0054１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 05:47:54
>>23
>>25

左側の円と真ん中の円の交点を通る直線と
右側の円と真ん中の円の交点を通る直線の
交点がうまい点になりはしないだろうか。

ちなみに俺は>>22の出題者だが、宿題だと
思われているのだろうか…。誰か解いて。
0055１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 09:23:00
（１）無理。
（２）無理。
0056１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 09:52:37
>>54
宿題は質問スレに書け！
0057542005/12/13(火) 13:21:59
宿題じゃないっつの！！　　　(´･ω･`)ｼｮﾎﾞｰﾝ
0058１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 15:08:01
（１）多項式でないから因数分解できない。
（２）数学板での出題としては三次方程式は今更だし
　　　大学入試問題としては高校生に十分や二十分で
　　　三次方程式の解法を発見させるのは無茶なので
　　　高校範囲外のことを知ってるかどうかの問題になってしまう。
0059１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 16:23:43
1辺の長さが1の正方形の周上に3点P,Q,Rをとる。
PQ↑・PR↑の最小値を求めよ。
0060１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 17:22:53
>>59で求めた最小値をaとする。
3点P,Q,RがPQ↑・PR↑=aを満たしながら動くとき、
線分PQの存在しうる領域の面積を求めよ。
0061１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 18:56:25
そうか、因数分解できないのか・・・
では「a^3+1/a^3を(a+1/a)の式で表せ」というのはどうでしょうか。
0062１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 20:22:29
とたんに難易度が下がったじゃん。考えて作れよ。。

東大より難易度低い大学でも
その程度の問題は解かせる。
0063１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 23:12:08
次の条件を満たす点P(x, y)の存在範囲をxy平面上に図示せよ。

条件：点Pを通る直線Lで、円O:x^2+y^2=1をLに関して対称移動した円O'が
x軸に接するようなものが存在しない。

簡単すぎかなあ？
文系向きかも。
ところで、掲示板では図示するのは無理なので、領域が分かる関係式を答えてください。
0064１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 23:42:27
|y|≦(1-x^2)/2
0065１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 23:42:57
|y|＜(1-x^2)/2
0066１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 23:56:52
xyz空間で次の条件を満たす点P(x, y, z)全体の集合による立体をVとする。

条件：点Pを通るどのような平面に対して球x^2+y^2+z^2=1を対称移動しても
移動後の球がxy平面に接することはない。

Vの体積を求めよ。
0067１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 00:02:06
>>66
それ有限に収まるか？
0068１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 00:02:52
収まるでしょ
0069662005/12/14(水) 00:03:25
・・・そだな。勘違い。
007066じゃなくて672005/12/14(水) 00:03:55
さらにスマン、
名前欄間違えた。
0071１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 00:05:06
>>66
>>63の答え回転させるだけじゃね？
0072１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 00:08:09
xyz空間で次の条件を満たす点P(x, y, z)全体の集合による立体をVとする。

条件：点Pを通るどのような平面に対して球x^2+y^2+z^2=1を対称移動しても
移動後の球がx軸に接することはない。

Vの体積を求めよ。

求まるかは知らんが>>66よりは骨がありそう。
0073１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 00:11:44
>>72
やっぱり回転させるだけじゃないの？回転軸がちがうだけで。
0074１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 00:37:59
誰か>>59>>60教えて
0075１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 01:00:32
>>61
高一でもできるぞ！
算チャレでもやってろ！！
おまえがこのスレに書き込む資格はない！！！
厨房がぁ！！！！
二度と来んな！！！！！
0076１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 01:12:04
>>74
Pを固定してQ,Rをうごかすことかんがえると
P,Qを固定してRをうごかしてもP,Rを固定してQをうごかしてもいづれの場合も１次なので
最小をとるQ,Rは頂点で最小になることがわかる。こまかい議論が必要だけど結局
正方形をABCDとして
A=Q、BがAB中点、RがBC上のときまたはそのような配置の回転反転のとき、または
A=R、BがAB中点、QがBC上のときまたはそのような配置の回転反転のときに
最小値-1/4になる。
線分PQの軌跡はAとAB、ADの中点、BとBC、BAの中点、CとCD、CBの中点、DとDA、DCの中点
を結んでできる８本の直線でかこまれてる８角形の外側。
0077632005/12/14(水) 01:23:42
>>63に引き続き、出題です。

x, yを実数とするとき、次の連立方程式を解け。
1/(4y)+1/(2x)=x^2+y^2
1/(2y)-1/x=x^2-y^2

分数は順に、4y, 2x, 2y, xが分母にあります。
入試というよりパズルです。どっちかっつうと数オリ風。
0078１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 01:32:29
>>77
>>63の問題となんか絡んでんの？全然別の問題？
0079１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 01:36:36
>>78
あ、全然別です。すみません。
ただ、同じ人間が出したってだけです。
0080１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 04:46:07
>>77
与式から1/xを消去して1/y=3x^2+y^2
よって3(x^2)y+y^3-1=0
与式から1/yを消去して2/x=x^2+3y^2
よってx^3+3xy^2-2=0
この2式から定数項を消去してx/y=tとおくと
t^3-6t^2+3t-2=0
0081１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 08:12:50
ｘｙ平面内の格子点を結んでできる正多角形は何種類あるか？
0082１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 20:27:05
>>81
超有名問題
0083１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 20:45:13
合同なある凸n角形で平面を敷き詰める。
このようなことが可能なnを全て求めよ。
0084１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 20:49:20
勘で３、４、５、６
0085１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 20:53:17
ｴｰｰｰ
0086１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 20:59:44
もぎょれー
0087１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 21:29:41
3・・・・
0088１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 21:39:40
秘密
0089１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 21:51:56
正n角形じゃなくていいんだよね
0090１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 22:04:31
どう読んだら正n角形になるんだ？
0091772005/12/14(水) 22:48:07
>>80
それで終りっすか・・・？
0092１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 22:55:42
終わりでｲｲﾝｼﾞｬﾅｲ？
0093772005/12/14(水) 23:36:43
>>92
寂しい(´・ω・`)
0094１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 23:55:46
>>93
中学生が背伸びしたような問題ばかりだすなよ。
算数オリンピック並の問題だして、いい気になってる算数オタクは、
算チャレでもやってオナってな！
0095772005/12/15(木) 00:23:14
>>94
前から気になってたけど、算チャレって何？って感じ。
0096１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 00:38:44
>>95
ttp://www.google.co.jp/search?hl=ja&inlang=ja&ie=Shift_JIS&oe=Shift_JIS&q=%8EZ%83%60%83%83%83%8C
0097772005/12/15(木) 00:48:23
>>96
こんなのがあったんですね。親切にありがとう。
0098１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 01:00:00
（ｘ＋ｙ）＾３＝３。
（ｘ−ｙ）＾３＝１。
0099１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 01:46:11
またでた。こいつきらい。
0100１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 03:58:42
>>97
ここに二度とレベルの低い問題を晒すなよ！ クズが！
(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!!
ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!!
ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!!
ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!!
ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!!
ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!!
0101１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 21:33:25
体積V、表面積Sの四面体ABCDの内部に次の条件を全て満たすように2つの球C1,C2をとる。

条件
C1は3平面ABC,ACD,ADBに接している。
C2は3平面BAC,BCD,BDAに接している。
C1とC2は外接している。
C1とC2の半径は等しくrである。

このとき四面体の辺ABの長さをV,S,rで表せ。
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