トップページ⇒math
1001コメント295KB

★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第六問

■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0001１３２人目の素数さん2005/12/08(木) 09:00:00
理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ

　過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/
★東大京大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1069171672/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第4問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1099493043/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/
0102１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 21:38:16
>>101
四面体は正四面体とはかぎらないすか？
0103１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 21:39:38
限らないよ。一般の四面体でも求まるから面白い。
0104１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 21:49:44
↓の問題お願いします。
http://www10.plala.or.jp/mathcontest/2005r.htm
0105１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 21:51:32
>>103
へぇー、すげぇー。オイラには無理。パス。
0106１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 21:55:58
>>105
いちいち無能宣言せんでいい
0107１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 22:00:08
>>101は辺CDが２球の共通接平面にふくまれるときは簡単なんだけど･･･
0108１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 22:16:23
>>101
4rV/(2V-rS) かな。
0109１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 22:19:34
計算ミスってタ。6rV/(3V-rS)でファイナルアンサーでどうだ。
0110１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 22:20:36
表面積Sを使っている所に意図が透けて見える。
0111１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 22:21:05
>>109
正解
0112１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 22:24:38
>>109
なんでそうなるかおしえてくらはい。
01131122005/12/15(木) 22:27:28
勘違いしてた。なるほど。わかりもうした。
01141132005/12/15(木) 22:40:03
あれ？やっぱりわかんない・・・だれか>>109の解答かいてください。お願いします。
0115１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 22:42:22
>>114
わからない？
いやだね！
このスレでは素人の発言は厳禁。したときは
容赦なくたたくからよく覚えておくように！
おれの怖さは、オイラースレのハンドル198で味わえ。
0116１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 22:47:22
>>115
てか既出の答えは辺CDが２球の共通接平面にふくまれると仮定したときに
自分でだした答えに一致するんだけどその仮定は常に満たされるわけじゃないし
その仮定がないと答えずれるみたいなんだけど。ホントにでてる答えで
あってんの？
0117１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 22:53:11
あってる
0118１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 22:54:23
ぁゃιぃ
0119１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 22:54:37
反例だせよ
0120１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 22:56:24
こうやろー。
ttp://www.imgup.org/file/iup131792.jpg.html
0121１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 22:58:22
そんなすぐにはだせないよ。共通接平面で四面体の内部にふくまれる部分の面積を
S’とするときV=(1/3)r(S+S’)をつかってるとおもうけど（てか同値になるけど）
これCDが接平面にふくまれてなくても成立すんの？
0122１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 23:01:01
そんなのいらんでしょ
0123１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 23:02:37
△ABCにおいて∠A＝180/7度、BC=１である。
また頂点Cから辺ABにAD=1となるような点Dをとる。
このときCDの長さを求めよ。

0124１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 23:06:30
>>122
>>121を訂正。>>109式はV=(1/3)r(S+2S’)―(*)と同値
いらんても>>121式は>>109式と同値(AB=(1/3)V/S’が成立するから)だから
(*)式が成立しなけりゃ>>109式は成立しない。ところが>>121式の
(1/3)r(S+2S’)は例えば辺CDが共通接平面と共有点をもたないときは体積より
真に小さくなるとおもうんだけど。
0125１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 23:10:34
アホですか？
0126１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 23:11:18
>>125
どっかまちがってる？
0127１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 23:12:57
AB=(1/3)V/S’が成立するならば>>109と>>121は同値なんでしょ
0128１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 23:14:20
>>127
AB=(1/3)V/S’は無条件に成立するとおもうけど。
0129１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 23:15:02
>>127
わかった。成立しない。吊って来る。
0130１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 23:15:34
S'の面がCDを含むときだけでしょ
01311242005/12/15(木) 23:18:21
すまん。オレの反論はまちがってる。しかしとしても証明がわからん。どうやって
証明するの？
0132１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 23:23:10
>>120
0133１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 23:26:11
>>132
さっきから503 Service Temporarily Unavailableばっかでみれん・・・
01341332005/12/15(木) 23:28:46
もしかしたらCDをとおる平面で適当にきればいいのか。なるほど。
0135１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 23:29:56
C1の中心をP、C2の中心をQとしたとき
四面体PBCDから四面体QBCDを除いた立体の体積はV'=(2r/a)V
V'+(1/3)Sr=V
01361352005/12/15(木) 23:30:25
a=AB
0137１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 23:35:00
なるほど。
0138１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 23:36:23
>>120も勉強になるから見とけ
0139１３２人目の素数さん2005/12/16(金) 00:53:04
正6角錐P-ABCDEFの辺PA,PB,PC,PD,PE,PF上にそれぞれ点A',B',C',D',E',F'をとり、
PA'=a, PB'=b, PC'=c, PD'=d, PE'=e, PF'=fとおく。
6点A',B',C',D',E',F'が同一平面上にあるならば
(a+d)(ce-bf)+(b+e)(ac-df)+(c+f)(ae-bd)=0を証明せよ。
0140１３２人目の素数さん2005/12/16(金) 01:46:07
>>139
でけた。
PA=PB=PC=PD=PE=PF=1として一般性をうしなわない。
三角錐PACEの体積をV、三角錐PABCの体積をWとおく。
与式⇔(a+d)(ce)+(b+e)(ac)+(c+f)(ae)=(a+d)(bf)+(b+e)(df)+(c+f)(bd)
　　　⇔3ace+abc+cde+efa=3bdf+bcd+def+fab　
なので最後の式をしめす。それにはace=bdf―(A)、abc+cde+efa=bcd+def+fab―(B)をしめせば十分である。
△A’C’E’と△B’D’F’は面積が等しいので
aceV=三角錐PA’C’E’の体積=三角錐PB’D’F’の体積=bdfである。よって(A)はしめされた。
△A’B’C’、△C’D’E’、△E’F'A’の面積の和と△B’C’D’、△D’E’F’、△F’A’B’の面積の和は等しいので
(A)と同様にして(B)もしめされる。以上で示された。
01411402005/12/16(金) 01:48:31
撤回。釣って来ます。
01421402005/12/16(金) 08:31:05
あってるのかな。でも
　
＞△A’C’E’と△B’D’F’は面積が等しいので

＞△A’B’C’、△C’D’E’、△E’F'A’の面積の和と△B’C’D’、△D’E’F’、△F’A’B’の
＞面積の和は等しいので
　
この２つは証明しないとおこられるんだろな。しかし泥臭い方法しか思いつかん。
後者は前者からすぐでるので前者のみ
しめせば十分。それは四面体PA’C’E’と四面体PB’D’F’の体積が等しいときなので
|AA’||CC’||EE’|=|BB’||DD’||FF’|―(1)と同値。
ABCDEFをふくむ平面をα、A’B’C’D’E’F’をふくむ平面をα’、
ABCDEFの外接円をS、α’上のA’B’C’D’E’F’をとおる二次曲線をS’とする。
SとS’は接するとして一般性を失わない。(必要ならαを上下して接するようにすればよい。)
AD//A’D’のときはAA’=DD’、BB’=CC’、EE’=FF’なので明らか。
BD//B’D’、CF//C’F’、のいづれかが成立するときも同様。
それ以外のときADとA’D’の交点をG、CFとC’F’の交点をH、EBとE’B’の交点をIとおく。
メネラウスの定理より(1)は(AG/DG)(CH/EH)(CI/FI)=1―(2)
あるいはAG･CH･EI=DG･FH･BI―(3)と同値。これを示す。
α、α’の交線をLとおく。αに極座標rθを設定してSがr=1、Lがrcosθ=1になるとしてよい。
ABCDEFの座標を(1,θ)、(1,θ+π/3)、(1,θ+2π/3)、
(1,θ+π)、(1,θ+4π/3)、(1,θ+5π/3)とすればAG=1/cosθ-1、DG=1/cosθ+1、
BH=1/cos(θ+π/3)-1、EH=1/cos(θ+π/3)+1、CI=1/cos(θ-π/3)-1、FI=1/cos(θ-π/3)+1
これらを(3)へ代入すれば容易に正しいことが確かめられる。（←受験だとおこられるだろうな）
･･･なんか瞬殺する方法がありそうなんだけど･･･
01431402005/12/16(金) 11:54:48
まちごうた。>>142撤回。で再挑戦。PA=PB=PC=PD=PE=PF=1と仮定する。
与式⇔3ace+abc+cde+efa=3bdf+bcd+def+fab
で両辺にP-ABCの体積をかけると
左辺＝右辺＝P-A'B'C'D'E'F'になるみたい。策に溺れた…orz
0144１３２人目の素数さん2005/12/16(金) 15:29:29
知らんがな
0145１３２人目の素数さん2005/12/16(金) 22:28:16
>>139
問題あってる？
a:c:e=1:2:3入れて、計算しても0にならなかったんだけど
俺の計算ミスかな？
0146１３２人目の素数さん2005/12/16(金) 23:36:49
>>139
二通りの方法で挑戦してみたんだが、やっぱり出題がおかしくないかな。
一個目の方法はPA, PC, PE を xyz軸にした斜交空間で
A',C',E'を通る平面の方程式と、B',D',F'を通る平面の方程式が
一致するという条件で連立方程式を立てたもの。

もう一この方法は、A',B',C',D',E',F'を底面に射影した点が一つの2次曲線上に
あるという条件から行列式の計算に持ち込んだもの。

上のどちらのやり方でも
bdf(ce+ae+ac) - ace(df+bf+bd) = 0
という式が出てきた。
0147１３２人目の素数さん2005/12/17(土) 00:28:41
アホばっかｗｗｗ
0148１３２人目の素数さん2005/12/17(土) 00:34:33
確かに、東大入試受験者になったつもりのスレレベルだな
0149麒麟◇nurupo2005/12/17(土) 00:38:59
>>144
(´･ω･)知らんがな
0150１３２人目の素数さん2005/12/17(土) 01:26:16
pを素数とする。
xに関する2次方程式

px^2+(5-p^2)x-3p=0

が整数解を持つようなpをすべて決定せよ。
0151１３２人目の素数さん2005/12/17(土) 14:18:34
>>143
正解
0152１３２人目の素数さん2005/12/17(土) 14:26:50
>>150
p=2
0153中１2005/12/17(土) 14:33:03
関数ｇ(ｘ)が単調増加であることの定義を書け、さらに関数ｇ(ｘ)がその定義を満たす事を(ｂ)を用いて表せ。
0154１３２人目の素数さん2005/12/17(土) 15:07:50
nを自然数とする。
∫[0,n]log(2^(2^x)+1)dx＜2^(n+1)を証明せよ。
0155１３２人目の素数さん2005/12/17(土) 16:45:01
>154
log{2^(2^x)+1} = (2^x)log(2) + log{1 + 1/[2^(2^x)]} < (2^x)log(2) + 1/[2^(2^x)].　　(← log(1+y)<y )

I_k ≡ ∫[k-1,k] log{2^(2^x)+1} dx < ∫[k-1,k] { (2^x)log(2) + 1/[2^(2^(k-1))] }dx
　< ∫[k-1,k] { (2^x)log(2) + 1/(2^k) }dx　　　　　　　　　　　　　　(← 2^(k-1)≧k )
　= [ 2^x + x/(2^k) ](x:k→k+1) = 2^(k+1) -2^k + 1/(2^k).
(左辺) = 納k=1,n] I_k < 2^(n+1) - 2 + 1 - 1/(2^n) < 2^(n+1) -1.
0156栄光 ◆Lms90zM1k. 2005/12/17(土) 17:52:27
うわぁ
こういう問題が解けるようにならないと東大へは受からないのか。
大変だな〜〜〜（´・ω・｀）

それにしても面白そうですね。
僕も早く仲間になりたいですよ。
01571552005/12/17(土) 18:07:15
訂正、スマソ。
　= [ 2^x + x/(2^k) ](x:k-1→k) = 2^k -2^(k-1) + 1/(2^k).
(左辺) = 納k=1,n] I_k < 2^n - 1 + 1 - 1/(2^n) < 2^n.

n=1:　　1.317 < 2
n=2:　　3.452 < 2^2
n=3:　　7.476 < 2^3
n=4:　 15.477 < 2^4
n=5:　 31.477 < 2^5
n=6:　 63.477 < 2^6
n=7:　127.477 < 2^7
n=8:　255.477 < 2^8
n=9:　511.477 < 2^9
n=10:1023.477 < 2^10
0158１３２人目の素数さん2005/12/17(土) 20:36:26
また万独裁事を
0159155,1572005/12/17(土) 22:18:58
>158
　改良しますた。。。
　log(1+y)<y,　2^x > e･log(2)x > x/log(2) より
　log{2^(2^x)+1} = (2^x)log(2) + log{1 + 1/[2^(2^x)]} < (2^x)log(2) + 1/[2^(2^x)] < (2^x)log(2) + e^(-x).

(左辺) = ∫[0,n] log{2^(2^x)+1} dx < ∫[0,n] { (2^x)log(2) + e^(-x) }dx
　= [ 2^x - e^(-x) ](x:0→n) = 2^n -e(-n) < 2^n.
∴　(2^n) -1 < (左辺) < 2^n.
0160１３２人目の素数さん2005/12/18(日) 16:15:20
p
0161１３２人目の素数さん2005/12/19(月) 00:03:08
f(x、y)=x^2006+y^2005上に有理点はたかだか有限個しか存在しないことを示せ。
0162１３２人目の素数さん2005/12/19(月) 00:06:43
z = f(x,y)じゃないよな、、
f(x,y) = 0、、でも無いよな、、
>>161の題意が分からない
0163１３２人目の素数さん2005/12/19(月) 00:07:00
意味不明。
0164１３２人目の素数さん2005/12/19(月) 00:25:22
=0だとしても(n^2005、-n^2006)は全部有理点だしね。
0165１３２人目の素数さん2005/12/19(月) 00:30:25
無作為にふたつの自然数をとったときそれらが互いに素な確率を求めよ
0166１３２人目の素数さん2005/12/19(月) 00:32:26
>>165
もうあきたそれ。
0167１３２人目の素数さん2005/12/19(月) 00:34:50
eが無理数であることを示せ
0168１３２人目の素数さん2005/12/19(月) 00:36:45
>>167
それは実際に受験ででたんだっけ？
0169１３２人目の素数さん2005/12/19(月) 01:12:50
>167
もしもｅが有理数で、ｅ=p/q (p,qは自然数)だったなら、(q!)ｅは自然数のはず。
ところで、
　ｅ - 納k=0,n] (1/k!) = 納k=n+1,∞) (1/k!) < (1/n!)納k=n+1,∞) 1/(n+1)^(k-n) = 1/(n･n!).
　0 < (n!)ｅ - M < 1/n.
∴　(n!)ｅ は自然数でない。
これがすべての自然数nについて成立つから、ｅは有理数でない。(終)
0170１３２人目の素数さん2005/12/19(月) 01:26:28
たしか実際の受験では誘導でエルミートの公式（のP(x)=x^nの場合）
(1/n!)∫[a,b](x^n)e^(-x)dx=(1+a+a^2/2+a^3/6+･･･+a^n/n!)e^(-a)-(1+b+b^2/2+b^3/6+･･･+b^n/n!)e^(-b)
を証明させる問題がついててa=0、b=1を代入して
(e/n!)∫[0,1]x^ne^(-x)dx=e-(1+1+1/2+1/6+･･･+1/n!)
を示せって感じのがついてたかな？これいつのだっけ？
0171１３２人目の素数さん2005/12/19(月) 01:33:50
平面上に3円C1,C2,C3があり、C1とC2およびC2とC3は外接しておりC1とC3は共有点を持たない。
C2上には赤く塗られた点Pが、C3上には青く塗られた点Qがあり、始め点Pと点Qは一致している。
C3はC2に接しながら滑ることなくC2の周りを転がり、C1に接すると今度は滑ることなくC1の周りを
転がり、再びC2に接したところで滑ることなくC2の周りを転がり最初の位置に戻ってくる。
この過程でC3とC1が、またはC3とC2が異なる2点で交わることは無いものとする。
このとき最終的に赤い点Pと青い点Qが一致するための3円の半径r1, r2, r3の条件を求めよ。
0172１３２人目の素数さん2005/12/19(月) 01:39:26
>165
それって高校生出来ないような気がする。集合論とか必要じゃない？有名なん？
0173１３２人目の素数さん2005/12/19(月) 02:08:53
正整数aの正の約数の個数をt(a)で表すことにする。また、T(n)=t(1)+t(2)+…+…t(n)とおく。

(1)t(n)=[n]+[n/2]+…+[n/n] を示せ。
(2)n→∞のときT(n)/n→lognを示せ。
0174１３２人目の素数さん2005/12/19(月) 02:35:37
>173
(1)
まず、第一象限における曲線xy=a(a∈n)が通る格子点の個数はt(a)である
(y=a/xが格子点(p、q)を通る⇔p、qはaの約数(∵a=pq)
また、aの約数の個数はt(a)で与えられることから)。
ここで、T(n)はa=1,2,…,nとしたときの格子点の総数であり、xy=nとx軸、y軸に囲まれる領域に含まれる格子点の個数。
さて、x=a(a=1,2,…,n)上にあるこの領域内の格子点の個数は[n/a]であるから、T(n)の値は題意の通りである。

(2)
(1)の値から積分を利用し、∫[1〜n]n/xdx<T(n)<n+∫[1〜n]n/xdx⇒nlogn<T(n)<n+nlogn
辺々nで割り挟みうちより。
0175１３２人目の素数さん2005/12/19(月) 03:00:49
逝きはよいよい帰りは怖い系の計算問題って、作るの結構難しいな。
わざとらしいトラップをかますとかは除いて。
0176１３２人目の素数さん2005/12/19(月) 07:39:28
もしかして>>161は=1かな？
0177１３２人目の素数さん2005/12/19(月) 10:00:42
arctanの逆関数を求めろ
0178１３２人目の素数さん2005/12/19(月) 16:41:50
？
0179１３２人目の素数さん2005/12/20(火) 00:00:17
>>169
ｅ - 納k=0,n] (1/k!) = 納k=n+1,∞) (1/k!) の部分が烈しく範囲外。
誘導付じゃないと無理。
0180１３２人目の素数さん2005/12/20(火) 00:19:54
∫【0→2π】√(1-sinx)dx
を求めよ。
0181１３２人目の素数さん2005/12/20(火) 01:16:46
>180
√{1-sin(x)} = √{1-cos(x-π/2)} = (√2)|sin(x/2 -π/4)|
　= (√2)sin(x/2 +3π/4)|　　(0<x<π/2)
　= (√2)sin(x/2 -π/4)|　　(π/2<x<2π)
(与式) = (√2)∫[π/2,5π/2] sin(x/2-π/4)dx = (2√2)∫[0,π］sin(y)dy = 4√2.
0182１３２人目の素数さん2005/12/20(火) 08:47:18
>>169 >>179
expの級数展開を有限桁で打ち切ったものを使って
eを上下から押さえるように誘導すればよいかと。
01831822005/12/20(火) 08:49:43
>>182
桁→項
0184１３２人目の素数さん2005/12/20(火) 10:01:50
∫【2→3】√(1-x^2)dx
を求めよ
0185１３２人目の素数さん2005/12/20(火) 11:47:41
>>184
(1/2)(Arcsin3−Arcsin2)＋(3√2−√3)i
0186１３２人目の素数さん2005/12/20(火) 15:23:44
京大ぽいが、どうでしょう。

[問題]　自然数の組(a，b，c)で1/a+1/b=1/cを満たすものを全て求めよ
0187１３２人目の素数さん2005/12/20(火) 17:59:45
>186
去年か一昨年早稲田で出た。文系のどっかで。
0188１３２人目の素数さん2005/12/20(火) 18:56:16
え！？まじ・・・
久方ぶりにシンプルな良問(個人的に)ができたと思ったのに・・・。誰か解いてください

あと、>>53教えてください。
0189１３２人目の素数さん2005/12/20(火) 22:17:32
>>188
良問も糞もあるか！
その辺の問題集に載っている ありがちな問題だぞ！
アホかお前は！！

ただの相加相乗平均の不等式を、私が発見したものですと言っているのと同じレベルだぞ！
あきれた。
0190１３２人目の素数さん2005/12/20(火) 23:01:40
>>186
期末テストで出たよ・・・俺が高校のころ。
0191１３２人目の素数さん2005/12/21(水) 00:28:13
平面上に曲線Cがあり、点Pを通るどのような直線ともちょうど2点で交わり、
その2交点間の距離は常に1である。
このような曲線Cに囲まれる領域の面積Sのとりうる値の範囲を求めよ。
0192１３２人目の素数さん2005/12/21(水) 00:30:58
π/4？
0193１３２人目の素数さん2005/12/21(水) 00:38:46
>>192
「範囲」はブラフってか？
その楽観主義、入試で痛い目見るぜ。
0194１３２人目の素数さん2005/12/21(水) 00:57:52
平面上の閉曲線Cの内部の点Pでその点を通るどのような直線もCとちょうど2点で交わり、
その直線がCにより切り取られる線分の長さが常に一定であるとき、点Pを凄い点と呼ぶことにする。
平面上のどのような閉曲線も凄い点を2つ以上持たないことを示せ。
0195１３２人目の素数さん2005/12/21(水) 00:59:44
凄い点ってｗｗｗ
0196１３２人目の素数さん2005/12/21(水) 01:10:00
［π／４，π／２）。
0197１３２人目の素数さん2005/12/21(水) 01:53:52
>>191
Pを極にCをrθ極座標での方程式r=f(θ)として表示すれば。
0 ≦ f(θ) ≦ 1
f(θ)+f(θ+π) = 1 を満たす。
Cに囲まれる領域の面積S[f]は
S[f] = ∫[0→2π]f^2 dθ/2
= ∫[0→π](f^2 - f + 1/2)dθ
= ∫[0→π](f - 1/2)^2 dθ + π/4

Sは
f(θ) = 1/2 のとき最小値π/4
f(θ) → 1 (0≦θ＜π) のとき上限π/2

---
Cが閉曲線である、とかPがCの内部にある、とかを
勝手に使っちゃったが。補うべきかも。
0198１３２人目の素数さん2005/12/21(水) 11:42:23
1＋χ＝5
χは何でしょう
0199１３２人目の素数さん2005/12/21(水) 11:47:00
レスをあぼーんした。
悪く思うなよ。
0200現役生2005/12/21(水) 15:58:31
>>197
S[f]の式1〜2行目で何が起こったのか是非教えてほしい。
f(θ)+f(θ+π)=1を使ってるのと、∫f(θ+π)^2dθ=∫f(θ)^2dθになることは分かった。
でも第2項のとこだけわからんのです。
0201１３２人目の素数さん2005/12/21(水) 22:14:53
∫[π→2π]　を置換して　f(θ)+f(θ+π) = 1　を使ってるんじゃないの。
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています