証明①
lim_[n→∞]Αｎ＝Α、lim_[n→∞]Βn＝Βとおけば任意の正の整数εに対応して
ｎ＞ｍ0（ε）ならば｜Αｎ－Α｜＜ε、｜Βn－Β｜＜εとなる自然数ｍ0（ε）
が定まる。

|ΑｎΒn－ΑΒ｜＝|Αｎ(Βn－Β)＋Β（Αｎ－Α）|≦|Αｎ｜｜(Βn－Β)｜＋｜Β｜｜（Αｎ－Α）|
であるから、
ｎ＞ｍ0（ε）ならば|ΑｎΒn－ΑΒ｜＜（｜Αｎ｜＋｜Β｜）εとなる。

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一方ｎ＞ｍ0（１）ならば、｜Αｎ｜≦｜Αｎ－Α｜＋｜Α｜＜1＋｜Α｜。
故に、任意の実数εに対応して、

ｎ0（ε）＝ｍ0［ε/（1＋｜Α｜＋｜Β｜）］＋ｍ0（１）

とおけば、ｎ＞ｎ0（ε）のとき、｜ΑｎΒn－ΑΒ｜＜ε
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すなわち数列｛ΑｎΒn｝は　ΑΒ＝lim_[n→∞]Αｎ*lim_[n→∞]Βnに収束する。



線で区切られている内容でなぜ、ｎ＞ｎ0（ε）のとき、｜ΑｎΒn－ΑΒ｜＜εがでてくるのか？
さっぱり分からないです。前後のつながりもよく分からない。誰か教えてください。