次数を一つだけあげるというのは本当に常套手段ですか？
試しにこんなふうにしてみました。

Σ[k=1,n](k^2) = Σ[k=1,n]( ((k^2)(k+1)^2) - ( (k^2)(k-1)^2 )) / 4k )
これで
1122-0011
2233-1122
3344-2233
みたいになって中間項は消えると思いますが。

こんなことでいいのでしょうか？
むりくりな気もしますが、そういうものですか？

また、そもそも間違ってるなどありましたら教えてください。