まずf'(x)=-(x^2+2ax+4)/(x^2-4)^2

f(x)が極値をもつ
⇒(f'(t)=0となるtが存在する)
⇔(f'(x)=0が解をもつ)

「f'(x)=0が解をもつ」で解答の候補の絞りこみを行っている訳だから
（必用性で推して十分性を確認する）
解を持つなら確認したほうがよいだろう