問題「２×２行列Aが、0ではない相異なる2つの固有値を持つとするとき
各固有値に対応する固有ベクトルは線型独立であることを示せ。」

固有値をλ1、λ2、対応する固有ベクトルをx1、x2とする

適当なスカラーa1、a2により、
a1x1+a2x2=0…①
が成立しているとする

①の両辺にAを左から作用させると
a1(Ax1)+a2(Ax2)=0(零ベクトル)
a1λ1x1+a2λ2X2=0…②

①の両辺にλ2をかけると
a1λ2x1+a2λ2x2=0…③

②、③より、a1(λ1-λ2)x1=0
λ1≠λ2より、a1x1=0…④

ここで、x1は零ベクトルではないので、少なくとも1つの成分は0ではなく
それをxjとすると、④より
a1xj=0
が成立する
xj≠0より、a1=0

同様にして、a2=0

故に、題意は成り立つ


この問題の解き方ってこれで合ってますか？