>>948の予想が正しいかは知らんが、取り敢えず>>930は正しい。

或るn≧2なる整数nに対して、n!以上 n!＋n以下の整数について相異なる2つの平方数が存在した
とすると、n!＜n!＋n＜(n＋1)!…①, 及び n^2＜n! が両方共に成り立つ。
つまり①、n＜(n－1)! が両方共に成り立つから、両方共に或る k_2＞k_1≧2 なる
2つの正整数 k_1, k_2 が存在して、n!＜(k_1)^2＜(k_2)^2＜n!＋n…② 。
l＝1,2を任意に固定する。すると、①の n!, (n＋1)! について、n, n＋1は連続した2つの正整数である。
また、(n＋1)^2＜(n＋1)! 。よって、n^2＜n! なることに注意すると、k_lに対して或る正整数i_lが存在して、
k_lは ＝n＋i_l と表わされ、②から、n!＜(k_l)^2＜n!＋n だから、n!＜(n＋i_l)^2＜n!＋n を得る。
(n＋i_l)^2 を展開すると、＝n^2＋2n・(i_l)＋(i_l)^2 だから、n! ＜ n^2＋2n・(i_l)＋(i_l)^2 ＜ n!＋n…③
となり、n≧2からn＞0だから、(n－1)! ＜ n＋( (i_l)^2 /n )＋2i_l ＜ (n－1)!＋1 。