関数f(x)がx=aで微分可能であるとは
lim[h→0]{f(a+h)-f(a)}/h
の極限値が存在することである

いちいちこの定義式を使って求めてるのは面倒なので、aを定数ではなく変数と考えれば、lim[h→0]{f(a+h)-f(a)}/hはaに関する関数となり、なんらかのaについての式が得られる
これは関数なのだから、でてきたaの式に適当な値を代入すれば、x=aでの微分係数を簡単に求めることができる
このような、微分の定義式を用いずショートカットして簡単に微分係数を求めることができる関数をf(x)の導関数といい、f'(x)と表した

つまりは>>800こういうことです
定義より自明である、ということですね