S_1=a≦a+ar=S_2　から　ar≧0　がでるが、a,r≠0ゆえ　ar＞0。
S_3=a+ar+ar^2≦a+ar から　ar^2＜0。ar＞0　なので　r＜0、従ってまた　a＜0。
S_4=a+ar+ar^2+ar^3≦a+ar　から　ar^2(1+r)＜0、ゆえに　1+r>0。
以上から、　-1＜r＜0、a＜0　が必要。
逆に　-1＜r＜0 a＜0、n≠2　なら、次の同値変形に注目。

S_n=a(1-r^n)/(1-r)＜a(1-r^2)/(1-r)=S_2
⇔(1-r^n)/(1-r)＞(1-r^2)/(1-r)
⇔1-r^n＞1-r^2
⇔r^2＞r^n
最後の不等式は　-1＜r＜0　から　常に成り立っている。
S_2　は　S_n　の最大値である。