話が逆だ。
数を拡張してみてから、交換法則が成り立つかどうか確認するのではなく、
交換法則などを含むいくつかの法則を満たすという制約の下で数を拡張する。
そのとき課す制約を整理して列挙したものが、数体系を定義する公理となる。