積分を使わないでも何とかできるが面倒。

頂角θの円錐をくり抜くと、断面の形はドーナツ型となり、断面積は
π(1-x^2-x^2(tan^2θ)) = π(1-x^2/cos^2θ) = π - π(x/cosθ)^2

これは半径が1の円柱から半径がx/cosθである円錐を取り除いた立体の断面積
円錐の高さはcosθ、半径はx=cosθのときで1になるので、

π(1+cosθ) - 1/3＊πcosθ) = 2/3π(1+cosθ)