証明を形式的に追う前にまず
A=Zやk[X]だったらどうだとか、fが零写像（つまりI=A）だったらどうなるかとか、
具体例で何が起こってるか確かめることを推奨する
というかそもそも、Zやk[X]のイデアルが何かとか理解できてる？