[問]実数aに対して、点(a,0)を通る曲線y=(1-x)e^xの接線の本数を求めよ。

y'=-xe^xから、曲線y=(1-x)e^x上の点P(p, (1-p)e^p)を接点とする接線の方程式は、
　y-(1-p)e^p=(-pe^p)(x-p)
と表される。この接線が点(a,0)を通るとき、
　0-(1-p)e^p=(-pe^p)(a-p)
整理して、
　p^2-(a+1)p+1=0
pは点Pのx座標であるから、実数である。ゆえに、これをpの2次方程式とみると、実数解pの個数が接点Pの個数と対応する。
　(判別式)=(a+1)^2-4=a^2+2a-3=(a+3)(a-1)
この符号を考えて、接点Pの個数は
　a<-3, 1<aのとき2個, a=-3,1のとき1個, -3<a<1のとき0個

ここまでは出来たんですが、「接点Pの個数と接線の本数が一致すること」はどう示せばいいんでしょうか？
与えられた曲線y=(1-x)e^xを描いてみたりしたんですが、どうもうまくいかなくて……