文系底辺国立志望です。以下の問題につまずいています。私立文系に絞るかも知れませんので、微積
は（というか数学自体）あまりやっていません。そんなレベルです。
【問題】
　0 < x < 1 で 常に不等式 1 + x/m < √(1+x) < 1 + x/n が成り立つような正の整数 m の最小値お
よび正の整数 n の最大値を求める。
1 + x/m < √(1+x) < 1 + x/n
　3 項より 1 を引いて
x/m < √(1+x) - 1 < x/n.
　x は正なので
1/m < (√(1+x) - 1)/x < 1/n.
　ここで f(x) = √x とおく。√x は閉区間 [0,1+x] で連続、開区間 (0,1+x) で微分可能であるから、
平均値の定理より
(√(1+x) - 1)/x = f'(1) (0 < 1 < 1+x).
を満たす 1 が存在する。f'(x) = 1/2√x だから f'(1) = 1/2.
　x = 1 のとき
(√(1+x) - 1)/x = √(1+1) - 1 = √2 - 1 = (2-1)/(√2+1) = 1/(√2+1).
であるから、
1/3 < 1/(√2+1) < 1/2
とここまではいいのですが、ここから
1/3 < 1/(√2 + 1) < (√(1+x) - 1)/x < 1/2
としてよい理由がわかりません。