>>951
軟化作用素J_εを使うといい
u∈L^1_loc(Ω)(ｴﾙﾜﾝﾛｰｶﾙ) , D_iu = 0 (i=1,･･･,n) とする
D_i(J_εu) = D_i(j_ε＊u) = j_ε＊D_iu = 0 (∵ D_iu = 0) より
J_εu∈C^∞(Ω) だから J_εu は定数関数
このとき J_εu(x) = α_ε (α_ε∈C) とおける
lim[ε↓0]‖J_εu - u‖_L^1(K) = 0 (K:ｺﾝﾊﾟｸﾄ集合) より
0←‖J_ε'u - J_εu‖_L^1(K) = |α_ε' - α_ε||K| (ε',ε→0)
ゆえに α_ε はある α∈C に収束する(複素数の完備性)
このとき ‖J_εu - α‖_L^1(K)→0 であり ‖J_εu - u‖_L^1(K)→0 でもあるから
K上で u(x) = α (a.e.) でないといけない
Kは任意だからΩ上で u(x) = α (a.e.)

(i) D_i(j_ε＊u) = j_ε＊D_iu
(ii) lim[ε↓0]‖J_εu - u‖_L^1(K) = 0 (K:ｺﾝﾊﾟｸﾄ集合)
は自分で示してね