>>940
円α半径=1
m=2
円α中心からAまでの距離 = 2
円α中心からBまでの距離 = 10000000000000
>このとき円α上にPQ=mかつAP=BQとなるような2点P,Qをとれ。
はい、無理ですね。

配置可能条件とその際のP,Q配置は極座標とか使えば一応書き出せますが
一般にはコンパスと定規で作図なんてレベルでは無いですよ

> 長さmの線分が与えられている
だいたいこの一文がなんか変なんです。これから作図しろっていうPQの他に
「長さmの線分」が与えられているように読めますが、これ意味あるんですか？

> 円αとその外部に2点A,Bおよび長さmの線分が与えられているとする。
実際の問題文はもっと具体的な数値や他の条件が与えられてるんじゃありませんか？
配置によっては作図可能なものもあるでしょうから。