>>604
f(x){g(x+1)+g(x-1)}-g(x){f(x+1)+f(x-1)}=0
よって、ある実数aに対して以下の式が成立する。
f(x+1)+f(x-1)=a*f(x)

1. a≠0かつa≠2のとき
x^2-ax+1=0の2解をα、βとすると
f(x+1)-αf(x)=β{f(x)-αf(x-1)}
h(x)=f(x+1)-αf(x)とおくと
h(x)=βh(x-1)
h(x)=C2β^x、C2は定数 …①
同様に、k(x)=f(x+1)-βf(x)とおくと
k(x)=C3α^x、C3は定数 …②
①,②から
(β-α)f(x)=C2β^x-C3α^x
f(x)=C0α^x+C1β^x、C0,C1は定数

2. a=0のとき
f(x+1)+f(x-1)=0
f(x+2)=-f(x)
x^2=-1の解は、x=i,-iだから
f(x)=C0i^x+C1(-i)^x、C0,C1は定数

3. a=2のとき
f(x+1)-f(x)=f(x)-f(x-1)
f(x+1)-f(x)=C(Cは定数)とすると
f(x)=C1x+C0、C0,C1は定数