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何次方程式かもわかりませんので、それは無理かと、、。
あと、今思いついたのですが、xは任意なので、
f(x)g(x+1)-f(x+1)g(x)=1=f(x+1)g(x+2)-f(x+2)g(x+1)になるので、
色々して、
g(x+1){f(x)＋f(x＋2)}=f(x+1){g(x)＋g(x＋2)}
になったのですが、あってそうですかね？