積分の添削お願いします

I = ∫(1+cosx)/(1+sinx)^2 dx

t = tanxとする。これより cosx = (1-t^2)/(1+t^2), sinx = 2t^2/(1+t^2), dx = 2/(1+t^2) dt とわかる。
よって
I = ∫4/(3t^2+2)^2 dt
となる。ここて t = √(2/3) * tanu とおく。
u = atan{√(3/2)t}, dt = {√(2/3)}/(cosu)^2 du とわかる。
よって
I = ∫{√(2/3)} * (1+cos2u) du = {√(2/3)}u + {√(1/6)}sin2u + C
= √(2/3) atan{{√(2/3)}tan(x/2)} + √(1/6) sin{2atan{√(3/2)}tan(x/2)} + C
C = const

となりました。
あってますか？