分からない問題はここに書いてね382

0001１３２人目の素数さん

2013/06/22(土) 20:34:54.52

さあ、今日も１日頑張ろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね381
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1368722331/

0446１３２人目の素数さん

2013/07/09(火) NY:AN:NY.AN

>>445
ならないからならないんだよそこに理由はないわ

0447１３２人目の素数さん

2013/07/09(火) NY:AN:NY.AN

ランダウの記号
記法の問題
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%80%E3%82%A6%E3%81%AE%E8%A8%98%E5%8F%B7#.E8.A8.98.E6.B3.95.E3.81.AE.E5.95.8F.E9.A1.8C

O(x)=O(x^2) but O(x^2)≠O(x)

0448１３２人目の素数さん

2013/07/09(火) NY:AN:NY.AN

>>445
ならなくない

0449１３２人目の素数さん

2013/07/09(火) NY:AN:NY.AN

>>445
x^m*o(x^n) = o(x^n) であり、
x^m*o(x^n) = o(x^(m+n)) でもあるんですよ。

>>447 のリンク先にも書かれている事ですが
この場合の等号は、どちらかというと ∈ (～に属す) に近くて
左辺の o(g)は、f(x)/g(x)→ 0 となるような任意の1関数 f
右辺の o(g)は、f(x)/g(x)→ 0 となるような関数f の集合とでも読み替えるべき式です。

要素と集合の関係と看做してしまえば、
x^m*o(x^n) ∈ o(x^(m+n)) ⊂ o(x^n) となりますよね。

0450１３２人目の素数さん

2013/07/10(水) NY:AN:NY.AN

こほこ

0451１３２人目の素数さん

2013/07/10(水) NY:AN:NY.AN

(1) 一般角θに対して、関数sinθ, cosθを定義せよ
(2) (1)の定義に基づいて、加法定理
sin(x+y)=sinx･cosy+cosx･siny
cos(x+y)=cosx･cosy-sinx･siny
を証明せよ

この問題は
(1) sinθ≡cosθ≡0 (恒等的にゼロ)
(2) sin(x+y)=0
sinx･cosy+cosx･siny=0･0+0･0=0
∴ sin(x+y)=sinx･cosy+cosx･siny

cos(x+y)=0
cosx･cosy-sinx･siny=0･0-0･0=0
∴ cos(x+y)=cosx･cosy-sinx･siny
と答えればいいでしょうか？

0452１３２人目の素数さん

2013/07/10(水) NY:AN:NY.AN

ひねくれてんなw

「一般角θに対して」という表現は特殊な角0～π/2に対しては（直角三角形の辺の比として）
既に定義済みという意味を含んでいるのでは？

0453１３２人目の素数さん

2013/07/10(水) NY:AN:NY.AN

>>451の問題には
(sinθ)^2+(cosθ)^2=1などの条件が必要だったのではなかろうか

0454１３２人目の素数さん

2013/07/10(水) NY:AN:NY.AN

>>451
>(1) sinθ≡cosθ≡0 (恒等的にゼロ)
とする理由は？

0455１３２人目の素数さん

2013/07/10(水) NY:AN:NY.AN

>>451
cosθ≡1のほうがいい。(sinθ)^2+(cosθ)^2=1も成り立つ。

0456１３２人目の素数さん

2013/07/10(水) NY:AN:NY.AN

n=3までマクローリン展開せよという問題で剰余項はつけた方がいいですか？

0457１３２人目の素数さん

2013/07/10(水) NY:AN:NY.AN

つけないよりはつかた方がいいだろ、そりゃ

0458１３２人目の素数さん

2013/07/10(水) NY:AN:NY.AN

積分の問題がわかりません
もう1時間考えましたができません……

∫x^2/√(1+x^2) dx

です
x = tanθとおいて
∫(tanθ)^2/cosθ dθ

からのアプローチがわかりません
助けてください

0459１３２人目の素数さん

2013/07/10(水) NY:AN:NY.AN

>>458
その置換は却って面倒ではないか
分子を
　　x^2 = ( 1 + x^2 ) - 1
として整理する

0460１３２人目の素数さん

2013/07/11(木) NY:AN:NY.AN

>>459
部分分数分解でしたか……

なんかもう積分かできる気がしねえわ
なんなのこれ

0461１３２人目の素数さん

2013/07/11(木) NY:AN:NY.AN

∫cosx / (1+sinx)^2 dx

これは
1+sinx=t とおいて

dt/dx=cosx　より　dt=cosxdx

∫1 / t^2 dt

∫t^(-2)dt

= -t^(-1)+ C
= -(1+sinx)^(-1) + C

でいいんでしょうか？

0462１３２人目の素数さん

2013/07/11(木) NY:AN:NY.AN

検算はこちらでどうぞ
ttp://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+x%5E2%2Fsqrt%281%2Bx%5E2%29

0463１３２人目の素数さん

2013/07/11(木) NY:AN:NY.AN

ｘ+ｙ=6、xy=1 , x>y　とするとき、次の式をの値を求めよ。

1)x^2+y^2
これは34と出て、正解でした。

2)ｘ-ｙ
これも4√2で正解でした。

3)ｘ^3＋ｙ^3

この求め方によって答えが変わってしまいます。
(x+y)^3 -3xy(x+y)のときには、198に
(x+y){x^(2)+xy+y^(2)}のときは210に。

さらに次の問題
4)x^6 -y^6

(x^3 -y^3)(x^3 +y^3)として
ここでも(x^3 -y^3)が求め方が二つあると思います。

(x-y)^(3) -3xy(x-y)と
(x-y){x^(2)+xy+y^(3)}の二つです。

ここで悩んでします。
どうして答えが違うのでしょうか？
何度も計算しているんですが、答えが違います。

0464１３２人目の素数さん

2013/07/11(木) NY:AN:NY.AN

>>463
>(x+y){x^(2)+xy+y^(2)}
展開してみて

0465１３２人目の素数さん

2013/07/11(木) NY:AN:NY.AN

http://i.imgur.com/fZ4D0Hk.jpg

http://m.wolframalpha.com/input/?i=integrate+x%5E2%28x%5E2-1%29%5E%28-1%29&;x=0&y=0
どこが違いますか？

0466１３２人目の素数さん

2013/07/11(木) NY:AN:NY.AN

黄色い微積の教科書やってるやつ多そう

0467１３２人目の素数さん

2013/07/11(木) NY:AN:NY.AN

> どこが違いますか？
積分定数
x+1/2 log(1-x)-1/2 log(x+1)+C1=x+1/2 (log((x-1)+log(-1))-1/2 log(x+1)+C1
=x+1/2 log((x-1)-1/2 log(x+1)+C1+1/2 log(-1)
=x+1/2 log((x-1)-1/2 log(x+1)+C2

または
∫dx/x=ln|x|

0468１３２人目の素数さん

2013/07/11(木) NY:AN:NY.AN

括弧がおかしいけど補完して

0469１３２人目の素数さん

2013/07/11(木) NY:AN:NY.AN

∫sqrt(4-x^2)の解き方がさっぱり分からないんですがどう解けばいいんでしょうか？

数2の課題が突然難しくなって困ってます。

0470１３２人目の素数さん

2013/07/11(木) NY:AN:NY.AN

>>469
平方根が絡んだ積分は三角関数での置換を検討したほうがいい

0471１３２人目の素数さん

2013/07/11(木) NY:AN:NY.AN

お兄さんたちに質問したい
中３で二次方程式の利用をやってるんだけど
文字（xとかtとか）＞0ってどういう意味？

問題文が必要だったら乗せます

0472１３２人目の素数さん

2013/07/11(木) NY:AN:NY.AN

>>471
2次方程式にはふつう解が2つあるが
問題の設定によっては不適な解が出ることもある
たとえば長さを問われているときには負の解は不適

0473１３２人目の素数さん

2013/07/11(木) NY:AN:NY.AN

>>472
理解できました！
ありがとうございます！

0474１３２人目の素数さん

2013/07/11(木) NY:AN:NY.AN

>>472はかなりのエスパー能力だなｗ

0475１３２人目の素数さん

2013/07/11(木) NY:AN:NY.AN

ちょっと数学板の頭のいい人たちに質問したい

ＡはＢに勝率6割で勝てる。
ＢはＣに勝率6割で勝てる。

この時、ＡのＣにたいする勝率はいくらと推定できますか？

相性とかは除いて、数学的にはどうなるんですか？

0476１３２人目の素数さん

2013/07/11(木) NY:AN:NY.AN

>>475
それでもやはり仮定が足りないのではないかと
どう仮定を設けてモデル付けするかは勝負内容に関する考察力が必要
ただ一例としてこんなものがある
http://ja.wikipedia.org/wiki/イロレーティング

0477１３２人目の素数さん

2013/07/11(木) NY:AN:NY.AN

8割4分だな

0478１３２人目の素数さん

2013/07/11(木) NY:AN:NY.AN

もっと適当な数学モデルを仮定してもらわないと答えは出せないが、
例えばなんらかの「強さパラメータ」の比で勝敗が確率的に決まるとしたら
A:B=6:4=36:24、　B:C=6:4=24:16　より
A:C=36:16 ≒ 6.9 : 3.1
勝率はおよそ7割と推定できる。

0479１３２人目の素数さん

2013/07/11(木) NY:AN:NY.AN

>>477
数字だけでなくそれを導いたモデルの解説を付けないと意味が無い

0480１３２人目の素数さん

2013/07/11(木) NY:AN:NY.AN

二辺の長さだけでは三角形は決定できないように、条件が2つだけでは決められない
もう一つなにか条件がないと

0481１３２人目の素数さん

2013/07/11(木) NY:AN:NY.AN

超難問にチャレンジ！1000までsage埋めお願いします！
http://toro.2ch.net/test/read.cgi/break/1323723496/l50

0482１３２人目の素数さん

2013/07/11(木) NY:AN:NY.AN

積分の添削お願いします

I = ∫(1+cosx)/(1+sinx)^2 dx

t = tanxとする。これより cosx = (1-t^2)/(1+t^2), sinx = 2t^2/(1+t^2), dx = 2/(1+t^2) dt とわかる。
よって
I = ∫4/(3t^2+2)^2 dt
となる。ここて t = √(2/3) * tanu とおく。
u = atan{√(3/2)t}, dt = {√(2/3)}/(cosu)^2 du とわかる。
よって
I = ∫{√(2/3)} * (1+cos2u) du = {√(2/3)}u + {√(1/6)}sin2u + C
= √(2/3) atan{{√(2/3)}tan(x/2)} + √(1/6) sin{2atan{√(3/2)}tan(x/2)} + C
C = const

となりました。
あってますか？

0483１３２人目の素数さん

2013/07/11(木) NY:AN:NY.AN

>>482
>cosx = (1-t^2)/(1+t^2), sinx = 2t^2/(1+t^2)
cosx+sinx=1なの？

0484１３２人目の素数さん

2013/07/11(木) NY:AN:NY.AN

×　となる。ここて
○　となる。ここで

計算の答え合わせはwolfram先生に頼め

0485１３２人目の素数さん

2013/07/11(木) NY:AN:NY.AN

>>475
（相性がある例）
Aは常にグーを出す、Bはチョキ0.6：パー0.4、Cは常にパーを出す
AがCに勝つ確率は0

（シンプルな例）
Aの得点が「0から(1.25)^2までの」一様分布
Bの得点が「0から 1.25 までの」一様分布
Cの得点が「0から 1 までの」一様分布で
互いに独立であり。
得点が大きいほうが勝ちとする。
これは条件を満たす。
このとき、AがCに勝つ確率は1-(8/25)=0.68

この他にいくらでも条件を満たす例は作れると思います。

0486１３２人目の素数さん

2013/07/11(木) NY:AN:NY.AN

>>483
ありかとうございました。
まさかそんな基本的なミスをしてしまうとは……

>>484
wolfram先生は小数で答え出しちゃうのでわからないんです

0487１３２人目の素数さん

2013/07/11(木) NY:AN:NY.AN

>>483
すっきりした答えでましたありがとうございました

しかしこの問題のsin cosの値を参照してたからまた全部やり直しだ……

0488１３２人目の素数さん

2013/07/11(木) NY:AN:NY.AN

最後にもう一つだけ添削お願いします。

∫[0,2] dx/√(|x^2-1|)
( Integrate[1/sqrt[abs[x^2-1]]],{x,0,2} )

∫[0,1-0] dx/√{-(x^2-1)} + ∫[1+0, 2] dx/√(x^2-1)
= [asinx][0, 1-0] + [log|x + √(x^2 - 1)|][1+0, 2]
= asin 1 - asin0 + log(2 + √3) - log1
= π/2 + log(2 + √3)

wolframの近似値と若干違うので困ってます。

0489１３２人目の素数さん

2013/07/11(木) NY:AN:NY.AN

wolframalpha に不定積分を聞けばいいとちゃう？

0490１３２人目の素数さん

2013/07/11(木) NY:AN:NY.AN

> wolfram先生は小数で答え出しちゃうのでわからないんです
この程度ならちゃんと小数以外でも教えてくれるぞ

0491１３２人目の素数さん

2013/07/12(金) NY:AN:NY.AN

>>488
Integrate[1/Sqrt[-1 + x^2], {x, 1, 1.001}]
0.0447176

だから　どうなるんでしょうね

0492１３２人目の素数さん

2013/07/12(金) NY:AN:NY.AN

>>491
>>489

0493１３２人目の素数さん

2013/07/12(金) NY:AN:NY.AN

∫(x^2+1)/{x^2(x+1) }dx
を部分分数分解する際、A/x,B/x^2,C/(x+1)と置くみたいなのですが、なぜx^2の分子を定数でおけるのですか？

0494１３２人目の素数さん

2013/07/12(金) NY:AN:NY.AN

A/x があるから

0495１３２人目の素数さん

2013/07/12(金) NY:AN:NY.AN

k:環、k[X]:k係数多項式環
k代数としてのテンソル積k[X]⊗k[X]を求めよ
教えて

0496１３２人目の素数さん

2013/07/12(金) NY:AN:NY.AN

もっと一般にBがA代数ならB⊗A[X]～B[X]が成り立つ

0497１３２人目の素数さん

2013/07/12(金) NY:AN:NY.AN

証明は普遍性を使うといい

0498１３２人目の素数さん

2013/07/12(金) NY:AN:NY.AN

>>496-497
ありがとう
k[X,Y]ですね

0499１３２人目の素数さん

2013/07/12(金) NY:AN:NY.AN

S[n.1]+2*S[n.2]+3*S[n.3]••••n*S[n.n]=n!(1/1+1/2+1/3+•••+1/n)
を証明してください。
第2種スターリング数の問題だったと思います。

0500１３２人目の素数さん

2013/07/12(金) NY:AN:NY.AN

>>499
S[n,k]=n!/k^2 と定義すれば

0501１３２人目の素数さん

2013/07/12(金) NY:AN:NY.AN

kを体、Aをk上有限生成代数とする。Aが体なら、Aはkの有限次代数拡大であることを示せ。
という問題が分かりません

0502１３２人目の素数さん

2013/07/12(金) NY:AN:NY.AN

>>501
KにAの生成元（有限個）を添加した体がAと同型なことを示せばよいのでは？

0503１３２人目の素数さん

2013/07/12(金) NY:AN:NY.AN

>>>500
どういうことですか？
もう少し詳しくお願いできますか？

0504１３２人目の素数さん

2013/07/12(金) NY:AN:NY.AN

積分が微分の逆演算だと気づいたのは微積分の文化が開発されてから結構後だと聞きました
なぜですか？すぐ気づきそうな気がしますがね？

0505１３２人目の素数さん

2013/07/12(金) NY:AN:NY.AN

>>503
Σ[k=1,n]k*S[n,k]=Σ[k=1,n]k(n!/k^2)=n!Σ[k=1,n]1/k

0506１３２人目の素数さん

2013/07/12(金) NY:AN:NY.AN

>>>505
Mを横にしたやつなんですか?

0507１３２人目の素数さん

2013/07/12(金) NY:AN:NY.AN

>>506
しぐま

0508１３２人目の素数さん

2013/07/12(金) NY:AN:NY.AN

>>504
そうかい？
どんな風に直ぐなんだい？

0509１３２人目の素数さん

2013/07/12(金) NY:AN:NY.AN

>>>507
どういう意味ですか？

0510１３２人目の素数さん

2013/07/12(金) NY:AN:NY.AN

>>504
>微積分の文化が開発されて
とはどういうことを指している？

0511１３２人目の素数さん

2013/07/12(金) NY:AN:NY.AN

>>501
A=k[x1,…,xn]とする
適当に番号を付け替えて、x1,…,xrがk上超越的、残りは代数的としてよい
r=0ならAはkは有限拡大なので、r>1とし、nに関する帰納法で矛盾を示す
n=1のとき、A=k[x1]が超越元をもてば、Aは多項式環と同型だから体ではないので矛盾
n-1のとき成り立つと仮定する
K=k(x1)、A=K[x2,…xn]は帰納法の仮定よりK上代数的
よって各xiは、0でないK係数モニック多項式による関係をみたすが、その係数はa/b (a,b∈K[x1],b≠0)という形をしている
この分母をすべてかけたものをfとすると、Aは商環S=k[x1][f^-1]上整
よって、Aが体だからSも体だが、k[x1]の元aでfと互いに素なものを取り、a/f^n∈Sを考えれば、これはSに逆元が存在しないので矛盾

0512１３２人目の素数さん

2013/07/12(金) NY:AN:NY.AN

>>509
総和記号でぐぐれ

0513１３２人目の素数さん

2013/07/12(金) NY:AN:NY.AN

>>501
A=k[x1,…,xn]とするAのk上超越次数をrとすると、ネーターの正規化定理より
k上代数的独立な元z1,…,zr∈Aがとれて、Aはk[z1,…,zr]の整拡大にできるが
Aが体なので、k[z1,…,zr]も体だから、r=0でないといけないので、代数拡大

0514１３２人目の素数さん

2013/07/12(金) NY:AN:NY.AN

>>508
>>510
積分って面積求めたいからできた方法ですよね？
それで微分は曲線の接線の傾き知りたいからできた方法、少なくとも先生にそんな風に聞きました
それで、別々にできた手法なんだけど、時間が経ってから実はこれは逆演算だったんだと気づいたって聞きました。
けど、2xの積分はx^2＋c(定数)なんだし、x^2の微分は2xなんだから、すぐ気づくんじゃないかな？と。
すいません、微積を習ったばかりの若輩者です

0515１３２人目の素数さん

2013/07/12(金) NY:AN:NY.AN

>>514
コロンブスの卵じゃないかなぁ

0516１３２人目の素数さん

2013/07/12(金) NY:AN:NY.AN

p:3以上の素数に対し
p^2≡1 (mod8)
の証明のやり方を教えていただけないでしょうか？

0517１３２人目の素数さん

2013/07/12(金) NY:AN:NY.AN

>>>512
すいません。全くわかんないっす。
問題みたら、x(x+1)(x+2)•••(x+n-1)=S[n.0]+S[n.1]x+S[n.2]x^2+•••S[n.n]x^n
を利用するようです。
遅れて申し訳ありません。

0518１３２人目の素数さん

2013/07/12(金) NY:AN:NY.AN

>>516
p=4n+1か4n+3とおけるじゃん？

0519１３２人目の素数さん

2013/07/12(金) NY:AN:NY.AN

>>516
p=2k+1
kはk>=1となる整数
p^2=4k^2+4k+1
=4k(k+1)+1
k,k+1のいずれかは偶数となるので
4k(k+1)は8で割り切れる

0520１３２人目の素数さん

2013/07/12(金) NY:AN:NY.AN

p=2n+1で十分
つかmod8掛け算表でも書いてから聞けよ

0521１３２人目の素数さん

2013/07/12(金) NY:AN:NY.AN

>>517
>>500は、>>499ではS[n,k]が定義されてないから、欲しい等式が成り立つようにS[n,k]を勝手に定義すりゃいいってこと。

0522１３２人目の素数さん

2013/07/12(金) NY:AN:NY.AN

てかさ、その問題うぜえな
奇数ってかけよ
何が素数だよ

0523１３２人目の素数さん

2013/07/12(金) NY:AN:NY.AN

>>521
そんなのありなんですか？？

0524１３２人目の素数さん

2013/07/12(金) NY:AN:NY.AN

>>523
多分>>499は問題の条件を勝手に削ってんだろ？それがありなら勝手に追加するのもありだわな。

0525１３２人目の素数さん

2013/07/13(土) NY:AN:NY.AN

3以上の素数⊂奇数

0526 ◆.P/txs7JAI

2013/07/13(土) NY:AN:NY.AN

>>>524
いや、、、内容は>>>499と>>>517だけでしたよ。あと、nが正の整数ってぐらいですね。
問題が転載禁止なので、画像でだせないですが。

0527１３２人目の素数さん

2013/07/13(土) NY:AN:NY.AN

>>514
それは不定積分（原始関数）と微分の関係。
大事なのは、定積分と原始関数の関係。

0528１３２人目の素数さん

2013/07/13(土) NY:AN:NY.AN

>>526
わからんやっちゃなあ、Sって何なんだよ？

0529１３２人目の素数さん

2013/07/13(土) NY:AN:NY.AN

>>526
転載禁止(笑)

0530１３２人目の素数さん

2013/07/13(土) NY:AN:NY.AN

>>526
で、S[n,k]の定義は何よ？

0531１３２人目の素数さん

2013/07/13(土) NY:AN:NY.AN

さあ、盛り上がって参りました。

0532１３２人目の素数さん

2013/07/13(土) NY:AN:NY.AN

こういうのはマルチとは言わんのかな、一応

0533１３２人目の素数さん

2013/07/13(土) NY:AN:NY.AN

sechx^2の積分がtanhxになりません
導出過程お願いします

0534 ◆.P/txs7JAI

2013/07/13(土) NY:AN:NY.AN

>>>528
第2種スターリング数ってかいてませんか？
書き方が分かり難かったら、謝罪します。
でも一応>>517も書きましたし、、、

0535１３２人目の素数さん

2013/07/13(土) NY:AN:NY.AN

>>532
どのスレとマルチなのだ？

0536１３２人目の素数さん

2013/07/13(土) NY:AN:NY.AN

>>533
>tanhx
を微分してその過程を逆にたどれ

0537１３２人目の素数さん

2013/07/13(土) NY:AN:NY.AN

>>534
問題の出所に関することばとしては出ているが、Sの定義はどこにもないな。
問題の書き方知ってる？

0538 ◆.P/txs7JAI

2013/07/13(土) NY:AN:NY.AN

>>>537
国語苦手なんです。
すいません。
問題文に第2種スターリング数って書いてなかったんです。
Cみたいに決まってるものかと、、、。

0539１３２人目の素数さん

2013/07/13(土) NY:AN:NY.AN

>>538
その問題文にはSはどう定義されてるのだ？

0540１３２人目の素数さん

2013/07/13(土) NY:AN:NY.AN

>>526
それで金銭的利益を得るわけでもないのだから、
問題文を正確に書き写す気力がないのなら、
携帯で撮った映像を載せたほうがいいよ。

0541１３２人目の素数さん

2013/07/13(土) NY:AN:NY.AN

横からだがマルチだろうがなんだろうが教えてやれよ

0542１３２人目の素数さん

2013/07/13(土) NY:AN:NY.AN

>>536
GJ

0543１３２人目の素数さん

2013/07/13(土) NY:AN:NY.AN

>>541
質問に現れる記号、言葉の定義をしっかり書いた質問なら考える

0544 ◆.P/txs7JAI

2013/07/13(土) NY:AN:NY.AN

出していいなら出しますね。スマホからなので見れるかどうかわかりませんが、、
一個前の誘導みたいな問題
http://i.imgur.com/E9jt5qS.jpg
本題
http://i.imgur.com/Ssi8CbA.jpg

最初からだしときゃ良かったですね。
重ね重ねすいません。

0545１３２人目の素数さん

2013/07/13(土) NY:AN:NY.AN

>>544
>>517を辺々微分