M(n,K)を体Kの元を成分にもつn×n行列の集合とします。
M(n,K)の元を、n個の列ベクトルの組と見なし、M(n,K)=(K^n)^nと同一視します。

写像det:M(n,K)→Kを
・列に関する多重線型性
・列に関する交代性
・det(I)=1 (Iは単位行列)
で定めます。

このとき、det(tA)=det(A)の示し方を教えてください。ただし、tAは行列Aの転置を表します。

・detが写像としてwell-definedであること
・detが第一行に関して展開できること
・det(AB)=det(A)det(B)
などは示せたので使えます

置換を使ってdetを明示的に表せば自明ですが、なるべく置換を使わずに諸々の性質を示したいと考えています