トップページ⇒math
1001コメント293KB

分からない問題はここに書いてね382

■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0001１３２人目の素数さん2013/06/22(土) 20:34:54.52
さあ、今日も１日頑張ろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね381
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1368722331/
0232１３２人目の素数さん2013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
>>230 方式なら
2×2×π÷2=2π
2×2×π÷4=π
2×2÷2=2

2π-(π-2)=π+2

>>221方式がいいと思うが。
0233１３２人目の素数さん2013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
円の面積=πr^2 (r:半径）
0234１３２人目の素数さん2013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
円の面積はπr^2
球の体積は4/3πr^3

では、四次元の"球"の"体積"は？
0235１３２人目の素数さん2013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
ガンマ関数でググろう
0236１３２人目の素数さん2013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
「一定の体積Rの円柱があり、円柱の底面の円の半径をrとして、円柱の高さをhとする。
　rの変化により、hと、円柱の表面積Sが変化するが、
このSが最小になる時のrとhの関係を式で表せ。」
っていうのが、直感で答えはあれかなってわかるんですが、
どうもアラフォーになった今、解き方を思い出せないのですが、
どういう風にやるんでしたっけ？
0237１３２人目の素数さん2013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
>>228
45°の底角をもつ二等辺三角形は小学校でも習ってるんじゃないの。
0238１３２人目の素数さん2013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
>>236
R=f(r,h)=一定から、S=g(r,h)のrかhを消去してSをhかrの関数で表して微分する。
0239１３２人目の素数さん2013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
小学校で無理数を扱う国ってあるますか。
また逆に義務教育で無理数を扱わない国ってありますか。
0240１３２人目の素数さん2013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
>>237
弧ABと線分ACの交点が弧ABの中点であること
か、
あと二つの角のうち一方が90度であること
または
線分ACと弧ABの交点からA,Bそれぞれまで等しいこと
が分からないと、一つの角が45度の三角形としか言えない
0241１３２人目の素数さん2013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
二等辺三角形の底角が45°⇔直角二等辺三角形
0242１３２人目の素数さん2013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
>>240
これは間抜けだ
0243１３２人目の素数さん2013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
>>242
えっえっ俺がバカなの？
この問題で二等辺三角形だということは自明なの？
0244１３２人目の素数さん2013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
直線ACと弧ABの交点が図で見えていれば、
半円ABの中心とその交点を結んでみるくらいの発想は中１生でもあるだろうということさ。
0245１３２人目の素数さん2013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
>>243
>>237の二等辺三角形は、半円ABの中心をO、弧ABと直線ACの交点のAでない方をDとしたときの△OADで△DABではないぞ
0246１３２人目の素数さん2013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
>>244
直角に見えて91度とか検討しないの？
図が正しいとも書いてないし・・俺がバカなのかなあ・・
0247１３２人目の素数さん2013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
>>245
ごめん、俺がバカだった
0248１３２人目の素数さん2013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
>>246
180-45-45=90じゃん
0249１３２人目の素数さん2013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
>>238
微分した後のS=g(r,h)のグラフの傾きの判定ってどうやるんでしたっけ？
0250１３２人目の素数さん2013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
>>249
dS/drのプラスマイナスがどうなるか。dS/drの場合は、-∞,-0,+0,+∞での極限値を求めて
2つのグラフの重ね合わせで考える。
0251１３２人目の素数さん2013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
>>250
わかりづらい
他で聞くわ
0252１３２人目の素数さん2013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
寺澤順先生の『トポロジーへの招待』の6ページに証明なしで書いてある
以下の主張の証明を教えてください．寺澤氏は，これを「よく使う」と言っています．

集合A，Bと写像f:A→Bについて
　f(A)∩B≠φ　⇔　A∩f^{-1}(B)≠φ

※ f^{-1}は「fインバース」のつもりで書きました．
0253１３２人目の素数さん2013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
>>252
勝手に書き直してない？
0254１３２人目の素数さん2013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
ステートメントこれであってんの？　

　写像f:A→B と、Aの部分集合C及びBの部分集合Dに対して
　　f(C)∩D≠φ ⇔ C∩f^{-1}(D)≠φ

とかじゃないと意味不明な気がする。
02552522013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
>>253, >>254
勝手に書き直していません．
本に書いてある通りに書きました．
書店でこの本を探して，6ページを見てみてください．そう書いてあります．
私も，これはなんか正しくないんじゃないか，という感じがしました．
正しくない，が答えでしょうか？
0256１３２人目の素数さん2013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
>>255
論理的に間違いではないと思うが、
f(A)∩B≠φ　⇔(A≠φかつB≠φ）⇔　A∩f^{-1}(B)≠φ でナンセンス。

正誤表にはないね。
http://www.nippyo.co.jp/img/sg/errata78574-1_1.pdf
02572532013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
>>255
>>254さんの指摘のような記述なのではないかと思った次第。

>>254さんのステートメントに証明をかくと

f(C)∩D≠φ　⇒　x∈C　であって　f(x)∈D　となる　x　が存在する。
f(x)∈Dであるから　x∈f^{-1}(D)である。
x∈Cであったから　x∈C∩f^{-1}(D)　である。
従って　C∩f^{-1}(D)≠φ　である。

逆
C∩f^{-1}(D)≠φ　⇒　y∈Dであって　C∩f^{-1}({y})≠　φ　となる　y　が存在する。
C∩f^{-1}({y})　の元の一つを　x　とすればy=f(x)∈ｆ（C)である。
y∈Dであったから　y∈f(C)∩Dである。
すなわち　f(C)∩D≠φ　である。
0258１３２人目の素数さん2013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
B≠φのとき、f^{-1}(B)=Aではないのか？

A∩f^{-1}(B)≠φ
これの”A∩”は意味ある？
0259１３２人目の素数さん2013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
>>258
>>256参照
0260１３２人目の素数さん2013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
f(A)∩B≠φ　⇔　f^{-1}(B)≠φ
だから、これだけで十分ということだろ
0261１３２人目の素数さん2013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
ある微積の本に載ってたのですが、

y''+ay'+by=0(a,bは定数)の微分方程式を解くとき、
y=e^αxとおくと、
α^2+aα+b=0のとなるので、これを解けばよい

と書かれていたのですが、y=e^αxとならない可能性は考えなくても良いのでしょうか？
0262１３２人目の素数さん2013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
真面目に解くんじゃなくて、答えのひとつを見つけるのなら十分でしょ
というノリの解説でね？
0263１３２人目の素数さん2013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
成る程…
真面目に解こうとするとどうなるのでしょう
簡単にでいいので教えてくれませんか…
その本には載ってませんでした
0264１３２人目の素数さん2013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
wikipの方が詳しいとは残念な本だな
0265１３２人目の素数さん2013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
>>250
まったく覚えてないんですが、どうやるんでしたっけ？
02662522013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
>>257
もしかしたら私の勘違いかもしれません．
>>254を書き込んだかたの言う通りの意味かもしれません．
0267１３２人目の素数さん2013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
I=g(r,h)+λ(f(r,h)-R), ∂I/∂r=0, ∂I/∂h=0
02682522013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
>>257
やはり私の勘違いのようです．
>>254さんの言うとおりだと思います．
本の記述の仕方が，勘違いを起こさせるあまり良くない記述になっているように思われます．

レスをくださったかたがたに感謝いたします．ありがとうございました．
0269１３２人目の素数さん2013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
>>261
線形斉次n階微分方程式の線形独立な解は高々n個
y=e^(αx)の形の関数で方程式を満たすものがあるかどうか探して、n個出てきたら（大概の場合出てくる）それ以上探さなくて良くてラッキー、という話
もちろん、全ての解がy=e^(αx)の形ではないが、しかし微分作用素は線形だから（関数空間の適当な有限次部分空間について）表現行列を持って、
それをジョルダン標準形に変形できることを考えると、y=e^(αx)（ある微分作用素の固有ベクトルになる）を考えるのは強ち飛躍しているとは言えない
0270１３２人目の素数さん2013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
>>269
なんかちげえな
0271１３２人目の素数さん2013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
訂正
×全ての解がy=e^(αx)の形ではない
○全ての解がy=e^(αx)の形とは限らない
全てこの形の場合もある
0272１３２人目の素数さん2013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
>>268
最初の記述にはあなたの解釈が入っている、といことですか？
02732522013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
>>272
私の解釈が入っている，のではなく，本の書き方が良くないと思われます．
その本には，単に

　また次がよく用いられる：
　f(A)∩B≠φ　⇔　A∩f^{-1}(B)≠φ

とだけ書いてあるのです．
AやBが何か別の集合の部分集合である，などと一切書いていないのです．
主張だけ書いて証明が書いていないので，余計に混乱を起こすものと思われます．

（注）決してこの本がダメ本であると言っているわけではありません．
0274１３２人目の素数さん2013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
>>273
だからさ、
　写像f:A→B と、Aの部分集合C及びBの部分集合Dに対して
の部分があなたの解釈なんでしょ？
それが余計だ、といっているわけ。
0275１３２人目の素数さん2013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
>>274
ごめん。間違えた

>>252の
集合A，Bと写像f:A→Bについて

のことについてです。
0276１３２人目の素数さん2013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
その記述のもっと前の方に写像f：X→Yなんてことがかいてあるんじゃないの？
で、その続きでA⊆X、B⊆Yが暗黙の了解になっている、とかね。
0277１３２人目の素数さん2013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
質問です
z = 1 / ( (exp(πi/3) + 1) * (exp(πi/3) + exp(πi/3) )の計算で
z = 1 / ( 2exp(2πi/3) + 2exp(πi/3) )ってこれ以上簡単な形にできないですか？
解答見ると( 1 / 3 ) * exp(-2πi/3) となっているのですが
どこでミスしているのかわからなくなってしまいました
0278１３２人目の素数さん2013/07/03(水) NY:AN:NY.AN
100回計算やりなおしてから聞け
0279１３２人目の素数さん2013/07/03(水) NY:AN:NY.AN
>>277
問題を正確に
0280１３２人目の素数さん2013/07/03(水) NY:AN:NY.AN
>>278
>>279
すみません
複素関数f(z)= 1 / (1 + z^3)
の特異点exp(1/3π)での留数を求めています。
2πi×(z-exp(1/3π))lim [z→exp(1/3π)]f(z)の計算過程で上記の計算が出てきました
どこかミスっていますか？
0281１３２人目の素数さん2013/07/03(水) NY:AN:NY.AN
絶望的にミスだらけ
0282１３２人目の素数さん2013/07/03(水) NY:AN:NY.AN
>>280
分母を因数分解してみて
0283１３２人目の素数さん2013/07/03(水) NY:AN:NY.AN
>>282
すみません
別の方法で出来ました
ありがとうございました。
0284１３２人目の素数さん2013/07/03(水) NY:AN:NY.AN
Z=ｆ（ｘ，ｙ）の（∂ｆ/∂x）と（∂z/∂y）を求めるという問題を教えてください。（１） ｆ（ｘ，ｙ）＝（x^4-y^4）/（x^2+y^2）
0285１３２人目の素数さん2013/07/03(水) NY:AN:NY.AN
素朴な疑問なのですが

n:自然数
√nが有理数になるのは、nが平方数のとき
ですか？
0286１３２人目の素数さん2013/07/03(水) NY:AN:NY.AN
>>285
そうです
n=n'a^2 (n':1 or 平方数ではない自然数) という風にnの平方因子をくくりだして
√n=√n'･a=p/q (既約分数)
⇒ q^2･n'･a^2=p^2
の両辺の素因数分解を考えれば、各素数のべきは偶数でなければいけませんから、n'=1つまりn=a^2が分かります
0287１３２人目の素数さん2013/07/03(水) NY:AN:NY.AN
>>286
ありがとうございます
一般的に示せるのに何故たいていの教科書では√2の場合しか載せていないのですか？
0288１３２人目の素数さん2013/07/03(水) NY:AN:NY.AN
>>287
一般的に示せることもそれでわかるから。
0289１３２人目の素数さん2013/07/03(水) NY:AN:NY.AN
0以上600未満の整数に一様に分布する乱数をn個作って昇順ソートした数列の
平均情報量は何bitなのか計算方法を教えてください。
0290１３２人目の素数さん2013/07/03(水) NY:AN:NY.AN
>>289
スレチです
0291１３２人目の素数さん2013/07/03(水) NY:AN:NY.AN
599がなんbitで表せるかわかればできるだろ
0292１３２人目の素数さん2013/07/03(水) NY:AN:NY.AN
ソボレフ空間の基礎と応用っていう本読んだ人いる？
買おうと思ってるんだけど
0293１３２人目の素数さん2013/07/03(水) NY:AN:NY.AN
>>287
(1) 背理法の練習として載せているから
(2) 一般的に示そうとすると「素因数分解の一意性」が必要になるから
(3) そもそも大して重要じゃないから
0294１３２人目の素数さん2013/07/03(水) NY:AN:NY.AN
ユークリッド環ではないPIDの例ってありますか？
0295１３２人目の素数さん2013/07/03(水) NY:AN:NY.AN
そりゃもういくらでも
0296１３２人目の素数さん2013/07/03(水) NY:AN:NY.AN
フカシギの数え方のn*nの場合の数をnの式で表してください。
http://www.youtube.com/watch?v=Q4gTV4r0zRs
0297１３２人目の素数さん2013/07/03(水) NY:AN:NY.AN
>>296
たぶんそれは高速なアルゴリズムがあるだけで、綺麗な式には表せない
0298１３２人目の素数さん2013/07/03(水) NY:AN:NY.AN
簡単な式がわからないからこそ計算競争の舞台になってるわけで
0299１３２人目の素数さん2013/07/04(木) NY:AN:NY.AN
>>296
スレチです が、下記に、実際のプログラムがあります。（私には分かりませんが）
実際に経路をしらみつぶしに調べて数え上げているようです。
http://handasse.blogspot.com/2012/09/blog-post.html
0300１３２人目の素数さん2013/07/04(木) NY:AN:NY.AN
球の表面積の求め方が分かりません…。
半径をrとして−rからrまで円の式の総和をとっても4πr^2になりません。
どうしたらいいんでしょうか？体積＝錐の体積の総和から求めるという方法は無しで。積分で求めるやり方が知りたいです…。
0301１３２人目の素数さん2013/07/04(木) NY:AN:NY.AN
3次元の極座標表示(r,θ,φ)から
0302１３２人目の素数さん2013/07/04(木) NY:AN:NY.AN
XY平面があります。
X軸上に中心を持つ円があります。
円周上の任意の点PとQをとります。
このとき原点とそれぞれP, Qを結ぶ線と円周と交わる別の点P',Q'があります。
ないときはP=P',Q=Q'とします。
このときOP×OP'＝OQ×OQ'を証明してください。
ユークリッドではなく解析幾何学（線形代数）でお願いします。
0303１３２人目の素数さん2013/07/04(木) NY:AN:NY.AN
座標おいてシコシコ計算すればいいべや
0304１３２人目の素数さん2013/07/04(木) NY:AN:NY.AN
m:=直線OPの傾き, P(α,mα), P'(β,mβ), 円:(x-c)^2+y^2=r^2
α,βは (x-c)^2+(mx)^2=r^2 の2解, αβ=(c^2-r^2)/(1+m^2)
OP*OP'=(√(1+m^2)|α|)*(√(1+m^2)|β|)=|c^2-r^2| (αに依存しない) = OQ*OQ'
0305１３２人目の素数さん2013/07/04(木) NY:AN:NY.AN
>>303
へけっ、クリクリー
>>304
ありがたまきん
0306１３２人目の素数さん2013/07/04(木) NY:AN:NY.AN
>>304
αβ=(c^2-r^2)/(1+m^2)
じゃなくてαβ=(c^2-r^2)/(1+m)
じゃなくないですか？
0307１３２人目の素数さん2013/07/04(木) NY:AN:NY.AN
ある自然数の二種類の集合A、Bがある

集合Aのうち、任意の数n以下となる組み合わせ
かつ、
集合Bのうち、任意の数ｍ以上となる組み合わせ
(いずれも重複可)

この条件満たす一般式って誰か分かる？
条件おかしい？
0308１３２人目の素数さん2013/07/04(木) NY:AN:NY.AN
>>306
ぽっくんが間違っていたばい。
mx^2のカッコ忘れてたばい。
0309１３２人目の素数さん2013/07/04(木) NY:AN:NY.AN
>>307
例えば A={1,2,3,4,5}, B={2,4,6,8,10} のとき、どういう結果が欲しいの？
0310１３２人目の素数さん2013/07/04(木) NY:AN:NY.AN
問題の意味がまったくわからない >>307
031117562013/07/04(木) NY:AN:NY.AN
n>0とする。(a,b)=1⇒(a^n,b^n)=1を証明してください。
0312１３２人目の素数さん2013/07/04(木) NY:AN:NY.AN
ポエムスレへ行け
0313１３２人目の素数さん2013/07/04(木) NY:AN:NY.AN
>>311
a,bが何であるのかも示さずに
0314１３２人目の素数さん2013/07/05(金) NY:AN:NY.AN
>>311
エスパーすると素因数分解の一意性
0315１３２人目の素数さん2013/07/05(金) NY:AN:NY.AN
内積？
0316１３２人目の素数さん2013/07/05(金) NY:AN:NY.AN
最小公約数にしかみえないわけだが
0317１３２人目の素数さん2013/07/05(金) NY:AN:NY.AN
>>316
そりゃ自明に1だなｗ
0318１３２人目の素数さん2013/07/05(金) NY:AN:NY.AN
M(n,K)を体Kの元を成分にもつn×n行列の集合とします。
M(n,K)の元を、n個の列ベクトルの組と見なし、M(n,K)=(K^n)^nと同一視します。

写像det:M(n,K)→Kを
・列に関する多重線型性
・列に関する交代性
・det(I)=1 (Iは単位行列)
で定めます。

このとき、det(tA)=det(A)の示し方を教えてください。ただし、tAは行列Aの転置を表します。

・detが写像としてwell-definedであること
・detが第一行に関して展開できること
・det(AB)=det(A)det(B)
などは示せたので使えます

置換を使ってdetを明示的に表せば自明ですが、なるべく置換を使わずに諸々の性質を示したいと考えています
0319１３２人目の素数さん2013/07/05(金) NY:AN:NY.AN
一回展開して行列のサイズに関する帰納法
0320１３２人目の素数さん2013/07/05(金) NY:AN:NY.AN
円周率を3として以下の問い(省略します)に答えなさいという課題なんですが、
円周率が3だと矛盾してしまうということを示せれればこの問題は解けないことになりますよね？
解答用紙に証明をつらつら書こうと思うんですが、なんかいい証明方法ないですか？
0321１３２人目の素数さん2013/07/05(金) NY:AN:NY.AN
>>318
転置行列に変換する一次写像との掛け算
0322１３２人目の素数さん2013/07/05(金) NY:AN:NY.AN
一回行に関して展開する
帰納法の仮定を使う
もう一回行に関して展開する

これで第一「列」目を全部外に出せるから上手くいくんじゃないかしら？
0323１３２人目の素数さん2013/07/05(金) NY:AN:NY.AN
>>320
非ユークリッド幾何学ではありえるらしい。
0324１３２人目の素数さん2013/07/05(金) NY:AN:NY.AN
>>320
問題解いちゃった方が早くね？w
0325１３２人目の素数さん2013/07/05(金) NY:AN:NY.AN
n次実交代行列Xと単位行列Eの和(X+E)
は常に正則行列になるでしょうか。

もしなるなら証明が欲しいのですが、
わかる方いたらお願いします。
0326１３２人目の素数さん2013/07/05(金) NY:AN:NY.AN
X=-E
0327１３２人目の素数さん2013/07/05(金) NY:AN:NY.AN
悪ぃ、交代か
0328１３２人目の素数さん2013/07/05(金) NY:AN:NY.AN
>>325
反例
n=2
X=[[1,0],[0,-1]]
0329１３２人目の素数さん2013/07/05(金) NY:AN:NY.AN
ごめん交代になってなかった吊ってくる
0330１３２人目の素数さん2013/07/05(金) NY:AN:NY.AN
実交代行列は対角化できて、０以外の固有値は +iλ, -iλ (λ: 実数) がペアになってあらわれる
0331１３２人目の素数さん2013/07/05(金) NY:AN:NY.AN
証明できるよ。
X が固有値 -1 を持つと仮定して、
固有ベクトルを v と置く。
二次形式 (v')Xv の値を計算すると
(v')v = -(v')v になって、
v が 0 でないことに矛盾する。
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています