ヒルベルト空間Ｈの部分空間Ｄ、Ｆについて
Ｄ⊂Ｆかつ ＤはＦの稠密な部分集合、 ＦはＨの稠密な部分集合であるとします
このとき、ＤはＦの稠密な部分集合になることの証明が以下のようになっています
Ｈの任意の元φについて
φに収束するＦの点列φ_nがある。よって任意の正数εにたいしてある番号Ｎがあって
ｎ≧Ｎ ならば、||φ_n−φ||<ε/2

ＤはＦの稠密な部分集合だから、あるψ_nが存在して
||ψ_ｎ−φ_Ｎ||<ε/2
よって三角不等式より
||φ−ψ_ｎ||<ε
よってψ_ｎはφに収束する

この証明のψ_ｎはＮに依存してるから、ψ_ｎはεに依存していますが、これってまずいですよね？
どう修正したらいいでしょうか？