fが連続なんだから原始関数Fが存在して
端aε,bε](f(x)/x)dx

=f(x)ln(x)|_[aε,bε] -端aε,bε]F(x)ln(x)dx
第二項はε→0で0に収束
第一項について
fは連続なので、任意の正数eに関して、εが十分小さければ
f(0)-e＜f(aε),f(bε)＜f(0)+e
とできる
この時
f(x)ln(x)|_[aε,bε]
=f(bε)ln(bε)-f(aε)ln(aε)
＜(f(0)+e)ln(bε)-(f(0)-e)ln(aε)
=f(0)ln(b/a)+eln(abε^2)
＜f(0)ln(b/a)+e （十分小さくεを取ればln(abε^2)＜1）
かつ、同様に
f(x)ln(x)|_[aε,bε]
＞(f(0)-e)ln(bε)-(f(0)+e)ln(aε)
=f(0)ln(b/a)-eln(abε^2)
＞f(0)ln(b/a)-e
従って任意の正数eに対してあるεが存在して
|（第一項）-f(0)ln(b/a)|＜e
となるので、第一項はε→0でf(0)ln(b/a)に収束