>>40

二項展開公式から、

　(k +1/2)^(n+1) = k^(n+1) + (1/2)(n+1)k^n + (1/4){(n+1)n/2}k^(n-1) + ････
　(k -1/2)^(n+1) = k^(n+1) - (1/2)(n+1)k^n + (1/4){(n+1)n/2}k^(n-2) - ････
辺々引いて
　(k +1/2)^(n+1) - (k -1/2)^(n+1) ＞ (n+1)k^n, 　
n+1 で割ると
　k^n ＜ {(k +1/2)^(n+1) - (k -1/2)^(n+1)}/(n+1), 　

あるいは、下に凸だから
　k^n ＜ ∫[k-1/2, k+1/2] x^n dx
　　　= {(k+1/2)^(n+1) - (k-1/2)^(n+1)}/(n+1)

これを与式に代入して、
　(左辺) < {(n -1/2)^(n+1) - (1/2)^(n+1)} / {(n+1)n^n}
　　　　 < (n -1/2)^(n+1) / {n^(n+1)}
　　　　 = (1 - 1/2n)^(n+1)
　　　　 < 1/√e　　　　　　　(*)
　　　　 = 0.60653

*　(1 +1/m)^(m+1) > e　に　m=2n-1 を代入した。