>>496
ρ(x)=inf{|x-y|;y∈R^c}とおく
(1)ρ(x)=0⇒x∈R^c
証：ρ(x)=0なるxを固定する。下限の定義より任意のε>0に対してあるy∈R^cがあって|x-y|<ρ(x)+ε=ε
　　よってxの任意の近傍がR^cの点を含むからR^cが閉集合よりx∈R^c
(2)ρは連続
証：x,x'を任意の点、y∈R^cとして三角不等式より|x'-x|+|x-y|≧|x'-y|
　　yについて下限を取って|x'-x|+ρ(x)≧ρ(x')
　　xとx'を入れ替えた不等式も成り立つから|x'-x|≧|ρ(x')-ρ(x)|
(3)あるd>0があってx∈S⇒ρ(x)≧d
証：Sは有界閉でρは連続より、ρのSへの制限が最小値を取る点x_0∈Sが存在する
　　x_0∈Rであるから(1)の対偶よりρ(x_0)>0。よってd=ρ(x_0)とおけばよい
(4)0<δ≦dとすると|z|<δ⇒S(z)⊂R
証：|z|<δ, x∈S(z)とするとx-z∈Sよりρ(x-z)≧d
　　もしx∈R^cなら|z|=|(x-z)-x|≧ρ(x-z)≧d≧δとなって矛盾
　　よってx∈RよりS(z)⊂R