「Rの閉部分集合S」というのはRの位相ではなくて元のユークリッド空間の位相で閉と言いたいんではないか
そしたらS^cとRが交わらない閉集合で一方が有界なので{|x-y|;x∈S^c,y∈R}が正の下限dを持って、0<δ<dとすればいい
だいぶ端折ってるので誰かに任せた