G=Z/nZ={[0],[1],…,[n-1]}とし、Gの元に加法を次で定義する
[a],[b]∈Gに対し、[a]+[b]:=[(a+b∈Zをnでわったあまり)]
g∈Gに対し、g+g=2g,g+g+g=3g,…,と書く
Gの各元gに対し、集合<g>={g,2g,3g,…}の元の個数は、mg=[0]となる最小の非負整数mに一致するが、このmをgの位数という。

g∈Gの位数はnの約数である
∵ gの位数をmとすると、n=qm+r (0≦r<m)と書けるが
rg=(n-qm)g=ng-q(mg)=[0]+q[0]=[0]
mの最小性からr=0

nの任意の約数mに対し、位数mの元が存在する
∵ m[n/m]=[n]=[0]でなので、[n/m]はそのひとつ

g∈Gの位数をmとすると、<g>=<ig>となるためには、mとiが互いに素であることが必要十分
∵ mとiが互いに素⇔mx+iy=1となるx,y∈Zが存在
<g>=<ig>
⇔g=yig⇔(1-yi)g=[0]⇔1-yi=xm
となるy∈Zが存在
⇔m,iは互いに素

よって、Gの位数mの元はφ(m)個あるので
n=|G|=Σ[m|n]φ(m)