>>42>>50これでOK?
P(X)はXの冪
O_hは、h_λ(λ∈L)が連続となるXの位相のうち最も細かい位相であるとすると
O_h={U∈P(X);(h_λ)^(-1)(U)∈O(Y_λ)(λ∈L)}⊂P(X)
O_fは、f_i(i∈I)が連続となるXの位相のうち最も細かい位相であるとすると
O_f={U∈P(X);(f_i)^(-1)(U)∈O(Z_i)(i∈I)}⊂P(X)
O_f=O_hを示す
任意のV∈O_hに対して定義より(h_λ)^(-1)(V)∈O(Y_λ)(λ∈L)
g_λ_i(λ∈L,i∈J_λ)が連続であるから、
(f_i)^(-1)(V)=(g_λ_i)^(-1)((h_λ)^(-1)(V))∈O(Z_i)
よってf_i(i∈I)=h_λ・g_λ_iは連続(f_i(i∈I):(Z_i,O(Z_i))->(X,O_h))
O_fの定義（最強性、最細性）よりV∈O_f
よってO_h⊂O_f
任意のV∈O_fに対して
(f_i)^(-1)(V)=(g_λ_i)^(-1)((h_λ)^(-1)(V))∈O(Z_i)
Y_λの位相O(Y_λ)は、g_λ_iが連続となるY_λの位相のうち最も細かい位相なので
(h_λ)^(-1)(V)∈O(Y_λ)
よってh_λ(λ∈L)は連続(h_λ(λ∈L):(Y_λ,O(Y_λ))->(X,O_f))
O_hの定義よりV∈O_h
よってO_f⊂O_h
よってO_f=O_h