割と有名な問題と、その問題の証明に関するもので


. 与えられた円に内接する三角形のうち面積が最大のものは正三角形である
ということを次のように「証明」した。この証明の誤りを訂正せよ。
点 A, B, C を円周上に取る。二点 B, C を固定して A を動かすと、A
が B と C を端点とする円弧の長い方の中点のとき高さが最大なので面
積も最大となる。もちろん、AB や CA を固定して考えても同じであ
る。つまり、どれかの辺を底辺と見たとき二等辺三角形になっていない
なら、それより面積の大きい三角形が存在することになる。よって、三
角形 ABC が正三角形のとき面積は最大となる。


というような問題をみたのですが、これが少し不安なのでよろしくお願いします

僕としては、
・この証明では、正三角形であることの必要性しか示されていないので、十分性も示さなければならない
・十分性を示すためには下から二行目の「それより面積の大きい三角形が存在することになる」を「それより正三角形の面積の方が大きくなる」に変えればＯＫ

という認識なのですがこれで間違いはないでしょうか？

それともこの証明には本質的な誤りがあるのでしょうか
ネットで同様の問題を調べたところ、大抵は微分などで証明していてこの証明法は使われていなかったので少し不安になりました