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不等式への招待　第７章

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0001不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)

2013/03/09(土) 22:14:39.95

ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　　　　黙っちゃゐられねゑ！
　　　　|┃=＿＿　　　＼　　　　　　　　　ﾊｧﾊｧ…
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ガラッ

まとめWiki　http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/

過去スレ
・不等式スレッド　（第１章）http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待第２章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待第３章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待第４章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待第５章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待第６章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・過去スレのミラー置き場　http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/

姉妹サイト（？）
キャスフィ高校数学板不等式スレ２
http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/l50
Yahoo! 掲示板　トップ > 科学 > 数学
http://messages.yahoo.co.jp/bbs?action=t&;amp;board=1835554&sid=1835554&type=r&first=1

0114１３２人目の素数さん

2014/02/05(水) 21:29:49.64

入試問題や模試や大学への数学などから持ってきますた。（じゅー）

[1]
　|z+1/2| < 1/2 のとき
　|1+z+…+z^n| < 1 を示せ。 (東工大前期)

[2]
xx+yy+zz=1 のとき
　(1) (x-y)(y-z)(z-x)
　(2) (2x-y)(2y-z)(2z-x)
の取りうる最大の値を求めよ。 (大数宿題)

[3]
a,b,c>0, a+b+c+abc=4 のとき
　a+b+c ≧ ab+bc+ca を示せ。(大学宿題)

[4]
(xx+yy)^2 = xx-yy のとき
x+y の取りうる最大の値を求めよ。(早大プレ)

ｷｬｽﾌｨｰ! - 高校数学 - 不等式２ - 170

0115ななし

2014/02/05(水) 21:50:26.43

>>114 [3]

　a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
　s<3 と仮定すると、相加-相乗平均で u<1 となり題意を満たさない。
∴　3 ≦ s < 4,

　4s(s-t) = -s^3 +4ss -9u + F_1(a,b,c)
　　　　　= -s^3 +4ss -9(4-s) + F_1(a,b,c)
　　　　　= (4-s)(s-3)(s+3) + F_1(a,b,c)
　　　　　≧ 0,
ここに
　F_1(a,b,c) = s^3 -4st +9u ≧ 0,　(Schur)

0116ななし

2014/02/07(金) 20:38:22.91

>>114

[1]　zは中心-1/2, 半径1/2 の円内にある。
　　|z| ≦ |z +1/2| + 1/2 < 1,
また、|z|^2 = zz~ = (z +1/2)(z~ +1/2) -1/4 -(z+z~)/2 < -(z+z~)/2,
∴　|1 - z^(n+1)| ≦ 1 + |z|^(n+1)
　　< 1 + |z|^2
　　< √(1+3|z|^2)
　　< √{1 -(z+z~) +zz~}
　　= √{(1-z)(1-z~)}
　　= |1-z|,

[2]　(1)　x≦y≦z とする。
　(x-y)(y-x) ≦ (1/4)(z-x)^2,
　　　等号は y=(x+z)/2 のとき。
　∴ (x-z)^2 =　2{xx + [(x+z)/2]^2 + zz - (3/4)(x+z)^2}
　　　　　　 ≦ 2{(xx+yy+zz) - (3/4)(x+z)^2}
　　　　　　 =　2{1 - (3/4)(x+z)^2}
　　　　　　 ≦ 2,
　　　等号成立は (x,y,z) = (-1/√2, 0, 1/√2)
　(左辺) ≦ (1/4)(z-x)^3 ≦ 1/√2,
下限も同様に

[4]　軸を45ﾟ回す。
　u = (x+y)/√2,　v = (x-y)/√2,
与式は
　(uu+vv)^2 - 2uv = 0,
ここで、du/dv=0, とおくと、
　2v(uu+vv) -u = 0,
　u = 8v^3 = (√3)v,
　(u, v) = (±√{(3√3)/8}, ±√{(√3)/8})
　2(uu+vv) = u/v = √3,

0117ななし

2014/02/07(金) 21:06:57.69

>>114 [4]

連珠形とか、Jakob Bernoulli のレムニスケート（Lemniscate）
というらしい....

0118ななし

2014/02/09(日) 18:15:15.66

>>115

出題者によれば
”今のところ、対称性を崩さない綺麗な証明は見つかっていない。”

　Schur不等式にもそのまま言えそう...

0119115

2014/02/11(火) 22:14:41.65

>>118

F_1(a,b,c) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(c-a) + c(c-a)(c-b)
　　= (ab+ca)(a-b)(a-c)/(b+c) + ･････
　　= ab{(a-b)(a-c)/(b+c) + (b-c)(b-a)/(c+a)} + ･･････
　　= {ab(aa-bb)^2 + bc(bb-cc)^2 + ca(cc-aa)^2}/{(a+b)(b+c)(c+a)}
　　≧ 0　　　　　　　　　　　　　　　　　（じゅー）

0120１３２人目の素数さん

2014/02/11(火) 23:21:48.73

x^3+y^3+z^3=1 (x,y,z>0)の時
xxy+zzxの取りうる最大値を求めよ
(東進数学コンクール)

結局スマートな解法が思いつかないまま〆切を迎えてしまいました

0121１３２人目の素数さん

2014/02/12(水) 22:54:44.26

過去問でつが……

〔問題908〕
　正の実数 a,b,c に対して、次を示してくださいです。
　{(a+b+c)(aa+bb+cc)}^2 ≧ 27abc(a^3 +b^3 +c^3),

　2ch - 数学板 - 不等式スレ６ - 908
　ｷｬｽﾌｨｰ! - 高校数学 - 不等式１ - 964

0122１３２人目の素数さん

2014/02/15(土) 12:56:22.22

120 Chebyshev kills it
We could see a Golden Section

0123１３２人目の素数さん

2014/02/16(日) 15:57:03.91

>>121

　(a+b+c)(aa+bb+cc) = S+p+q,
ここに
　S = aaa + bbb + ccc,
　p = aab + bbc + cca,
　q = abb + bcc + caa,

　(左辺) = (S+p+q)^2
　　　≧ 9(Spq)^(2/3)
　　　≧ 9(SS･27SU)^(1/3)　　　　(← 補題)
　　　= 27Su,
ここに
　　S = aaa + bbb + ccc,
　　T = (ab)^3 + (bc)^3 + (ca)^3,
　　U = u^3 = (abc)^3,

〔補題〕
　pq ≧ 3(3STU)^(1/3) ≧ 3√(3SU),

(略証)
　pq = (aab+bbc+cca)(abb+bcc+caa)
　　 = T + uS + 3uu
　　 ≧ 3(3STU)^(1/3)
　　 ≧ 3√(3SU),　　　{← T≧√(3SU)}

0124１３２人目の素数さん

2014/02/16(日) 16:05:17.43

>>123

〔補題〕
　pq ≧ T + 2√(3SU) ≧ 3√(3SU),

(略証)
　pq = (aab+bbc+cca)(abb+bcc+caa)
　　 = T + uS + 3uu
　　 ≧ T + 2√(3SU)
　　 ≧ 3√(3SU),　　　{← T≧√(3SU)}

0125１３２人目の素数さん

2014/02/17(月) 18:51:56.53

>>112-113

　0 < k ≦ (√2 + 1),

　極大は q = (√2 - 1)^2 のとき
　下限は q → -∞ のとき

0126１３２人目の素数さん

2014/02/17(月) 23:49:38.94

(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

0127１３２人目の素数さん

2014/02/20(木) 20:58:32.81

〔問題179〕
x,y,z>0、xyz=1 のとき、
[Easy]
　xx+yy+zz ≧ 3 + 2(x-1)(y-1)(z-1),
[Hard]
　xx+yy+zz ≧ 3 + 2(1-x)(1-y)(1-z),
を示してくださいです。
[Hard] は [Easy] と比較して難しいかなぁって感じでつ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　（じゅー）

　ｷｬｽﾌｨｰ! - 高校数学 - 不等式２ - 179

0128ななし

2014/02/20(木) 21:12:45.27

>>127

Easy の方は
　(左辺)－(右辺) = (x+y+z+1)(x+y+z-3) - 2(xyz-1) ≧ 0 だが...

0129ななし

2014/02/21(金) 19:15:17.77

>>127

　x+y+z = s,
　xy+yz+zx = t,
　xyz = u,
とおくと Hard の方は
　(左辺)－(右辺) = (ss-2t) -3 +2(u-t+s-1)
　　 = (ss-4t) +2(u-1) +2s -3
　　 = {F_1(x,y,z) -9u}/s + 2(u-1) +2s -3
　　 = {F_1(x,y,z) +(2s-9)(u-1) +(s-3)(2s+3)}/s
　　 ≧ 0,　　　　　　　　　　　（天ぷら）
ここに
　F_1(x,y,z) = x(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y)
　　 = sss -4st +9u ≧ 0,　（Schur）

0130１３２人目の素数さん

2014/03/01(土) 10:21:13.88

0131１３２人目の素数さん

2014/03/01(土) 10:28:30.65

数オリ
http://www.imojp.org/challenge/old/images/jjmo12mq.jpg
http://www.imojp.org/challenge/old/images/jmo24mq.jpg

0132１３２人目の素数さん

2014/03/01(土) 12:30:14.33

　　∧＿∧
　　( ;´∀｀)　＜興奮してきた…
　人　Y　/
　(　ヽし
　（＿）＿）

0133１３２人目の素数さん

2014/03/01(土) 18:40:56.44

>>131 (2014年JMO本選)

〔問題5.〕
不等式
　a/{1+9bc+4(b-c)^2}　+ b/{1+9ca+4(c-a)^2} + c/{1+9ab+4(a-b)^2} ≧ 1/2,
が a+b+c=1 をみたす任意の非負実数a,b,cに対して成り立つことを示せ。

0134１３２人目の素数さん

2014/03/03(月) 02:35:18.55

>>130
イェンゼンをそのまま出すってつまらないな

0135１３２人目の素数さん

2014/03/05(水) 21:41:46.78

>>133

a+b+c=s のとき、コーシーにより、
　{a[ss+9bc+4(b-c)^2] + b[ss+9ca+4(c-a)^2] + c[ss+9ab+4(a-b)^2)]}(左辺)
　　≧ (a+b+c)^2 = ss,
よって
　(左辺) ≧ ss/{sss+27abc+4[s(ab+bc+ca)-9abc]}
　　= ss/{sss +4s(ab+bc+ca) -9abc}
　　≧ ss/(2sss)　　(← Schur)
　　= 1/(2s),　　　　(じゅー)

0136１３２人目の素数さん

2014/03/09(日) 23:29:23.76

この『じゅー』って今年阪大挑戦枠受かった子？

0137１３２人目の素数さん

2014/03/10(月) 01:21:57.02

知らんがなｗ

0138１３２人目の素数さん

2014/03/10(月) 01:30:38.44

自己紹介乙！

0139１３２人目の素数さん

2014/03/10(月) 08:24:33.61

阪大の合格発表見たけど
数学挑戦枠の合格者一人だけだった
去年に引き続きなかなかエグい試験だったってことだな

0140１３２人目の素数さん

2014/03/11(火) 04:31:34.09

この人
https://twitter.com/yjjswm

0141prime_132

2014/03/15(土) 21:42:02.66

いちょう祭が楽しみ...♪

ちなみに小生は学科違いの S53入、S59院卒だが何か？

0142１３２人目の素数さん

2014/03/15(土) 22:14:50.71

>>136-141

http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1331245369/
へ　ﾄﾞｿﾞｰ

0143１３２人目の素数さん

2014/03/17(月) 23:38:33.45

a,b,cは負でない実数でかつab+bc+ca+abc=4を満たす時
a+b+c≧ab+bc+ca

0144１３２人目の素数さん

2014/03/20(木) 23:49:29.60

>>114 [3] の類題？

>>115

0145ななし

2014/03/24(月) 20:20:36.02

>>143

s,t,u を >>115 のようにおく。
　t<3 と仮定すると、相加-相乗平均で u<1 となり題意を満たさない。
∴　3 ≦ t < 4,

s≧4 のときは明らか。
s<4 のとき
　(4s+9)(s-t) = -s^3 +4ss +9(s-t-u) + F_1(a,b,c)
　　　= -s^3 +4ss +9(s-4) + F_1(a,b,c)
　　　= (4-s)(s-3)(s+3) + F_1(a,b,c)
　　　≧ 0,　　　　(← s≧√(3t)≧3)
ここに
　F_1(a,b,c) = s^3 -4st +9u ≧ 0, (Schur)

0146１３２人目の素数さん

2014/03/29(土) 01:38:18.83

>>120

相加-相乗平均
　axxx + axxx + yyy ≧ (1/k)xxy,
　(1-2a)xxx + zzz/2 + zzz/2 ≧ (1/k)xzz,
を辺々たすと
　xxx+yyy+zzz ≧ (1/k)(xxy+xzz),

係数を比べて、
　aa = (1-2a)/4 = 1/(3k)^3,
aを消すと、
　k = (1/3)(1+√5)^(2/3) = 0.729273617

casphy - highmath - 不等式２ - 173-174
//twitter.com/Inequaltybot/　[181]

0147１３２人目の素数さん

2014/04/01(火) 22:21:02.29

正数x,y,zが xyz = 1 のとき
　x^3 + y^3 + z^3 + 1/x^3 +1/y^3 + 1/z^3 - 6*( x/z + y/x + z/y ) +12 ≧0

って成り立ちますか？

0148１３２人目の素数さん

2014/04/02(水) 09:59:59.81

ｘ＾２－ｘ－１＝０。
ｙ＝１。
ｚ＝ｘ－１。

0149１３２人目の素数さん

2014/04/05(土) 21:17:36.82

正変数a_1, a_2, ・・・, a_n について A_n = (a_1+a_2+・・・+a_n)/n , G_n = (a_1*a_2*・・・*a_n)^(1/n) とするとき

　n(A_n-G_n) ≧ (n-1)(A_(n-1) - G_(n-1))

が成り立つそうなのですがどう示されるのでしょう

0150１３２人目の素数さん

2014/04/07(月) 20:05:40.74

(a^4+b^4+c^4)^3≧(a^3+b^3+c^3)^4ってどうやって示せばいいんだっけ

0151１３２人目の素数さん

2014/04/07(月) 20:26:10.23

頭わるそうなやり方だけどlog取って12で割って増減調べりゃいいんじゃない

0152１３２人目の素数さん

2014/04/07(月) 22:52:36.08

a=b=cの時成り立たなさそうなんだがどうなの

0153１３２人目の素数さん

2014/04/14(月) 01:01:15.95

>>121-124
　//twitter.com/Inequalitybot/ [186]

0154１３２人目の素数さん

2014/04/14(月) 01:07:10.40

〔問題〕
a,b,c>0 に対して、次を示してくださいです。
　(a+b+c)^2･(a+b)(b+c)(c+a) ≧ 24abc(aa+bb+cc),

　//twitter.com/Inequalitybot/ [196]

0155１３２人目の素数さん

2014/04/19(土) 11:15:48.14

http://sothear.files.wordpress.com/2010/03/topics-in-inequalities-hojooleetin0508251.pdf#search='x%5E2y%5E2z%5E22xyz%3D1'
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

0156１３２人目の素数さん

2014/04/20(日) 08:45:13.02

√2 + √3 > π を証明せよ、ゆとり向けに。

0157１３２人目の素数さん

2014/05/04(日) 03:05:01.23

　2sinθ + tanθ > 3θ,
これは Snellius-Huygensの不等式として知られている。

この不等式で θ= π/4 - π/6 = π/12 として
　sinθ = sin(π/4 -π/6) = (√3 -1)/(2√2),
　tanθ = tan(π/4 -π/6) = 2-√3,
を使えば
　4{(√3 -1)/√2 +(2-√3)} > π,

√2 + √3 = 4{(√3 -1)/√2 +(2-√3)} + (√2 -1)^2･(2-√3)^2･(√3 -√2)
> 4{(√3 -1)/√2 +(2-√3)}
> π,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　ぬるぽ

0158１３２人目の素数さん

2014/05/04(日) 03:24:20.18

>>149
a_n = a と略記する。
n･A_n = (n-1)A_(n-1) + a,
n･G_n = n･{G_(n-1) ^(n-1)･a}^(1/n)
　≦ (n-1)G_(n-1) + a,　(←相乗･相加平均)
辺々引く。
　　　　　　　　　　　　　　　　ぬるぽ

0159１３２人目の素数さん

2014/05/04(日) 04:15:33.55

>>114-116

[1] ･･･ [183]
[2] ･･･ [182]
[3] ･･･ [184]
[4] ･･･ [178]

https://twitter.com/Inequalitybot/

0160１３２人目の素数さん

2014/05/07(水) 00:25:04.63

>>143-145

(別解)
a,b,c の2つが1以上、または2つが1以下。
a,b をその2つとすると
　4 = (a+b+c) + abc = (a+b)(1+c) + (1-a)(1-b)c ≧ (a+b)(1+c),
　(a+b+c) - (ab+bc+ca) = (a+b){4-(a+b)(1+c)}/4 +(a-b)^2･(1+c)/4 +(1-a)(1-b)c ≧0,

//www.casphy.com/bbs/highmath/ 不等式２ - 170[3] ～172
//twitter.com/Inequalitybot/ [184]

0161１３２人目の素数さん

2014/05/12(月) 21:26:52.73

> 154
f(a,b,c) = (a+b+c)^2 (a+b)(b+c)(c+a) - 24a b c(a^2+b^2+c^2)
とおく。x ≧ 0 のとき、
f(x,1,0) = x (1 + x)^3 ≧ 0
f(x,1,1) = 2(x+1)^2(x-2) ≧ 0
よって、安藤哲哉「不等式」定理2.3.1(2)より f(a,b,c) ≧ 0.

ところで、同書の記号で
f(a,b,c) = T_{4,1} + 3T_{3,2} + 10 US_{1,1} - 18 US_2
なので、定理2.4.1が使えない。そこで、次の定理を提案する。

定理2.4.1b
f(a,b,c) = T_{4,1} + p T_{3,2} + q US_2 - (2+2p+q) US_{1,1}
とおく。任意の非負実数 a,b,c に対して f≧0 となるための必要十分条件は
次の(1)と(2)が成立することである。
(1) p ≧ -1
(2) 2p+q+4 ≧ 0 または (2p+q)^2 + 8q ≦ 0

0162１３２人目の素数さん

2014/05/12(月) 21:27:39.56

0163１３２人目の素数さん

2014/05/13(火) 05:50:13.76

ついでに、S_5 と T_{4,1} の係数が 0 の場合は以下の通りです。

定理2.4.1c
f(a,b,c) = T_{3,2} + q US_2 - (2+2p+q) US_{1,1}
とおく。任意の非負実数 a,b,c に対して f≧0 となるための必要十分条件は
q ≧ -2

ここで(上の投稿を含めて)
T_{i,j} = Σ a^i b^j (6項対称和)
S_{i,j} = Σ a^i b^j (3項巡回和)
U = abc

0164１３２人目の素数さん

2014/05/28(水) 03:56:36.47

B4638、B4640、http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&;h=201405&t=mat&l=en

A616、B4626、B4628、http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&;h=201404&t=mat&l=en

B4620、http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&;h=201403&t=mat&l=en

A609、B4606、http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&;h=201402&t=mat&l=en

A605、http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&;h=201401&t=mat&l=en

B4585、http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&;h=201312&t=mat&l=en

A593、http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&;h=201309&t=mat&l=en

C1168、http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&;h=201304&t=mat&l=en

＿|　::|＿
￣|　::|／|　　　　　　　　　　 ┌──┐
　 |　::|　 |　　　　　.┌──┐| ∧＿∧　　いいな、俺たちの誰かが殉職したら･･
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　 |　::|　 | | ⊂　　　）（＿Ο Ο　わかってる、生き延びた奴が
　 |　::|／ .|_　（＿Ο Ο　::::::::: :::::: 不等式を収集し、証明する !
　 |　::|　:::::::::::::::::::::::::::::::: 俺たちゃ死んでも仲間だぜ !!

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不等式への招待 第７章

不等式への招待　第７章