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不等式への招待　第７章

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0001不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)

2013/03/09(土) 22:14:39.95

ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　　　　黙っちゃゐられねゑ！
　　　　|┃=＿＿　　　＼　　　　　　　　　ﾊｧﾊｧ…
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ガラッ

まとめWiki　http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/

過去スレ
・不等式スレッド　（第１章）http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待第２章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待第３章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待第４章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待第５章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待第６章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・過去スレのミラー置き場　http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/

姉妹サイト（？）
キャスフィ高校数学板不等式スレ２
http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/l50
Yahoo! 掲示板　トップ > 科学 > 数学
http://messages.yahoo.co.jp/bbs?action=t&;amp;board=1835554&sid=1835554&type=r&first=1

0052１３２人目の素数さん

2013/06/09(日) 21:28:40.72

>>50 右
　g(t) = cos(√t)　は下に凸。3倍角公式から、
　cos(x/√3)^3 = {3cos(x/√3) + cos((√3)x)}/4
　　　　　 = {3g(xx/3) + g(3xx)}/4
　　　　　 > g(xx)　　　(← Jensen)
　　　　　 = cos(x),
　
>51 右
　g(-t) = cosh(√t)　は下に凸。3倍角公式から、
　cosh(x/√3)^3 = {3cosh(x/√3) + cosh((√3)x)}/4
　　　　　 = {3g(-xx/3) + g(-3xx)}/4
　　　　　 > g(-xx)　　　(← Jensen)
　　　　　 = cosh(x),

0053１３２人目の素数さん

2013/06/09(日) 21:33:06.16

>>52

　g(t) は t≦20 で下に凸。

(略証)
・t>0 のとき
　g(t) = cos(√t),
　g '(t) = -sin(√t)/(2√t),
　g "(t) = {sin(√t) - (√t)cos(√t)}/(4t√t),
　そこで sinθ - θ･cosθ = 0, θ>0 となる最小のθを求める。
　1/θ = 1/tanθ = tan((3/2)π - θ) > (3/2)π - θ,
　1/θ + θ > (3/2)π > (20 + 1)/(√20),
　θ > √20 ≧ √t,

・t≦0 のとき
　マクローリン展開
　g(-t) = 1 + (1/2!)t + (1/4!)tt + ････ + {1/(2k)!}t^k + ････
　の係数がすべて正。

0054１３２人目の素数さん

2013/06/10(月) 20:40:07.13

>>53

θ ～ 4.493409457909
　　= (3/2)π - 0.21897952247563

√20 ～ 4.472135955

0055１３２人目の素数さん

2013/06/16(日) 00:09:30.45

左側はマクローリン展開。

>>50 左
　sin(x)/x > 1 - xx/3! + (x^4)/5! - (x^6)/7!
　　　 = 1 - xx/3! + (x^4)/216 + (x^4)(1/270 - xx/7!)
　　　 > 1 - xx/3! + (x^4)/216　　　(← xx<14)
　　　 > cos(x/√3),

>>51 左
　2k+1 ≦ 3^k,
　sinh(x)/x = 納k=0,∞) (xx)^k／(2k+1)!
　　　　　　> 納k=0,∞) (xx/3)^k／(2k)!
　　　　　　=　cosh(x/√3),

0056１３２人目の素数さん

2013/06/16(日) 00:18:37.18

成程

0057１３２人目の素数さん

2013/06/18(火) 22:07:49.29

〔類題〕
|xyz| ≦1 のとき、次を示せ。
　√(1+xx) + √(1+yy) + √(1+zz) -|x| -|y| -|z| ≧ 1,

[前スレ.414、459、482]

0058１３２人目の素数さん

2013/06/18(火) 22:12:24.34

>>57
ｷｬｽﾌｨｰの解答....

　√(1+xx) - |x|
　　 =　1/{√(1+xx) + |x|}
　　 ≧ 1/(1+2|x|)
　　 =　X／{X + 2|x|^(1/3)}
　　 ≧ X／{X + 2/|yz|^(1/3)}　　　(x≦1/yz)
　　 ≧ X／{X + 1/|y|^(2/3) + 1/|z|^(2/3)}
　　 =　X／(X + Y + Z),
ここに、X = 1/|x|^(2/3)、Y = 1/|y|^(2/3)、Z = 1/|z|^(2/3),

0059１３２人目の素数さん

2013/07/12(金) NY:AN:NY.AN

a, b, c>0, (1/ab)+(1/bc)+(1/ca)=1 のとき.

(a-1)(b-1)(c-1)>=2(3√3-5)を示せ。

0060１３２人目の素数さん

2013/07/17(水) NY:AN:NY.AN

>>59
例によって基本対称式を
　a+b+c = s,　ab+bc+ca = t,　abc = u,
とおく。題意より
　s = u,
　9/t = 9/(ab+bc+ca) ≦ 1/(ab) + 1/(bc) + 1/(ca) = 1,
　t ≧ 9,
したがって
　(4t-9)[t + 3(2√3 -3)]^2 - 4t^3 = (t-9){3(16√3 -27)t + 27(2-√3)^2} ≧0,

Schur不等式（n=-2）より
　0 ≦ F_(-2)(a,b,c)
　　= abc･F_1(1/a,1/b,1/c)
　　= (t^3 -4stu +9uu)/uu
　　= {4t^3 - (4t-9)(s+u)^2}/(4uu)　(← s=u)
　　≦ (4t-9){[t + 3(2√3 -3)]^2 - (s+u)^2}/(4uu),

∴　[t + 3(2√3 -3)] ≧ s+u,
∴　(a-1)(b-1)(c-1) = u -t +s -1 ≦ 2(3√3 -5),

0061１３２人目の素数さん

2013/07/18(木) NY:AN:NY.AN

昨日行ったファミレス。席に着くなり「ただいま○○フェアで
○○○○がお勧めです」と言うので「じゃあそれを」と頼んだら
「申し訳ありません、本日は完売となっております」って。
じゃあ勧めるなよおい。完売でもとにかく言わないといけないという
決まりでもあるのかね。

0062nobu

2013/07/20(土) NY:AN:NY.AN

mixi招待してください

0063１３２人目の素数さん

2013/07/20(土) NY:AN:NY.AN

>>59
ｷｬｽﾌｨｰの解答から....

a>1, b>1, c>1, で示せばいい。
附帯条件は
　0 = (a-1)(b-1)(c-1) + (a-1)(b-1) + (b-1)(c-1) + (c-1)(a-1) -2
　　≧ (a-1)(b-1)(c-1) + 3{(a-1)(b-1)(c-1)}^(2/3) -2
　　= GGG +3GG -2
　　= (G+1)^3 -3(G+1)
　　= (G+1){(G+1)^2 -3},
ここに、 G = {(a-1)(b-1)(c-1)}^(1/3),
∴　G ≦ √3 -1,
∴　(a-1)(b-1)(c-1) = GGG ≦ (√3 -1)^3 = 2(3√3 -5),
　　　　　　　　　　　　　　　　（じゅー）

0064１３２人目の素数さん

2013/07/25(木) NY:AN:NY.AN

log(x+√1+x^2)>sinx (x>0)

0065１３２人目の素数さん

2013/07/26(金) NY:AN:NY.AN

ピーター・フランクルの本より出題

任意の実数xについて、
sinx+sin√2x≦2-1/(100*(1+x^2))
が成立することを示せ

0066１３２人目の素数さん

2013/07/26(金) NY:AN:NY.AN

あんまし美しいと思えないなあその不等式

0067１３２人目の素数さん

2013/07/26(金) NY:AN:NY.AN

>>64
ｷｬｽﾌｨｰの解答から....

|x| < π/2 のとき、｜tan(x)| > |x|

　(d/dx)log(x+√(1+x^2)) = 1/√(1+x^2),
　(d/dx)sin(x) = cos(x) = 1/√{1+tan(x)^2},
から出る。

|x| > sinh(1) = 1.1752 のとき
　(左辺) = arcsinh(x) > 1 ≧ (右辺).

0068１３２人目の素数さん

2013/08/28(水) NY:AN:NY.AN

〔問題17〕
非負値の多項式、たとえば
　f(x,y,z) = (x^4)(y^2) + (x^2)(y^4) + (z^6) - 3(xyz)^2,
は
　{xy(x-y)}^2 + (2|xy| + z^2)(|xy| - z^2)^2,

のように、|xy| と z^2 の多項式によって表わせますが、

x, y, z の多項式の平方の和では表わせないでしょうか？

　(参) ヒルベルト「数学の問題」 No.17

0069１３２人目の素数さん

2013/09/28(土) 18:28:22.89

自然数 n≧2 に対して次を示せ。

(1) 　Σ_[k=1]^n (-1)^{k+1} n_C_k (1/n^2 )^k < 1/n

(2) 　Σ_[k=1]^n n_C_k { 1/(n^2-1) }^k > 1/n

(3) 　Σ_[k=1]^{2n} {2n}_C_k { 1/(n^2-1) }^k > 2/(n-1)

ただし、n_C_k　= n ! /( k! (n-k)! )　は二項係数とする。

0070１３２人目の素数さん

2013/09/28(土) 22:13:24.35

>>69
それ数セミ10月号の問題じゃん

0071１３２人目の素数さん

2013/10/04(金) 06:41:24.02

最近「不等式」のレベルを格段に押しげる本が出ると聞いた
いまこそ、学問の)いち分い地一分野になれるかどうか
ともきいやた。

がんばれ不等式
俺は創業以あなた方ファンです。

0072狢 ◆yEy4lYsULH68

2013/10/04(金) 07:10:46.99

狢

○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●
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●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○
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○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●
●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○

0073１３２人目の素数さん

2013/10/04(金) 11:32:39.72

>>71
> 最近「不等式」のレベルを格段に押しげる本が出ると聞いた

　ﾉ　　　　　∧　　　　　／)　∧
　彡　　ノW　＼从／V　　W　＼　　　ミ
　 (　　ノ　　　　　　　 |　　　　　　ノ　＼)
　　∩V　　　　　、、　|　　　　　　 >V7
　（ｅLＬ／￣￣＼/　 L／￣￣＼┘/3）
　　(┗（　　　　　　)⌒（　　　　　　）┛/
　　　~|　＼＿＿／ |　　＼＿＿／　|~　　　　／￣￣￣￣￣￣
　　　爻　　　　　< |　　；　　　　　爻　　　＜続けたまえ
　　　　~爻　　　　＼_／　　＿,　爻~.　　　　＼＿＿＿＿＿＿
　　　　~爻__／⌒￣￣￣~~ヽ_ 爻~
　　　　　／　　　　ー￣￣＼_￣＼
　＿一‘　　　　　＜￣￣＼＼＼Ｊ
＜＼　　　　　　　ー￣￣ヽ_ヽＪ　　￣＼_
　　＼　　　　　＿ニニニヽ　）　　　　　　 ~＼
　　　＼　　_／⌒|＼ヽ_~~ ~⌒＼_
　　＿＿／~　　　 V ＼_|　　　　　~＼＿

0074福地　裕

2013/10/04(金) 12:59:17.73

１．不等式　２１世紀の代数的不等式論　　安藤　哲哉　著　　数学書房
ソン何知ってるよたいしたことない。場合は笑って許して。でもここだけは
レベル上げといてね。他はたよりにならんから。

これは大田図書館（大田区）でみつけた。

0075福地　裕

2013/10/04(金) 13:05:05.59

もう一冊は楽しめそう。

美しい不等式の世界
ーーーー数学オリンピックの問題を題材としてーーーーー

砂糖　淳郎　訳　　朝倉書店

残念ながらともに大田図書館所蔵です

0076福地　裕

2013/10/04(金) 13:07:23.30

私は真摯な数学ファンのあなた方のファンです。がんばってください、

0077１３２人目の素数さん

2013/10/04(金) 17:05:18.87

安藤さんは数オリの問題を何問も解いた天才だな

0078１３２人目の素数さん

2013/10/07(月) 10:30:44.11

>>77 ご用ですか？
ところで，3変数4次巡回不等式
f(x,y,z) = Σx^4 + A Σx^3 y + B Σ x y^3 + C Σ x^2 y^2 + D Σ x^2 y z
が任意の非負整数 x, y, z に対して f(x,y,z) >= 0 を満たすための
A, B, C, D についての必要十分条件を求めました．
複雑でここに書けないので，以下のプレプリの
Theorem 3.5, Theorem 3.6をご覧下さい．
(2ch制限でLinkが貼れないので，
[安藤哲哉] → 論文・プレプリコーナー → 論文[9] で探して下さい)

0079１３２人目の素数さん

2013/10/07(月) 10:33:47.42

(直前の続き ---- 長すぎで2chで拒否されるので)
日本語で読みたい方は以下の正誤表の補遺(系2.3.9b, 系2.3.9c)をご覧ください．
(Linkを貼ろうとすると2chから怒られるので，
[安藤哲哉] → 「不等式」正誤表で探して下さい)
ここで，S_4=Σx^4, S_{3,1}=Σx^3 y, S_{1,3}=Σ x y^3, S_{2,2}=Σ x^2 y^2, US_1 = Σ x^2 y z です．

0080１３２人目の素数さん

2013/10/07(月) 10:44:43.57

すいません。>78 でタイプミスしました。
> が任意の非負整数 x, y, z に対して f(x,y,z) >= 0 を満たすための
が任意の非負実数 x, y, z に対して f(x,y,z) >= 0 を満たすための

0081１３２人目の素数さん

2013/10/08(火) 18:28:27.55

証明の肝が不等式であることは実際多いんだよ。
君が何を証明したいにしてもね。

0082１３２人目の素数さん

2013/10/13(日) 19:40:49.65

〔問題〕
0 < A,B,C ≦ π/2（△ABCは鈍角△でない）とき、
　cos(A)cos(A)cos(B) + cos(B)cos(B)cos(C) + cos(C)cos(C)cos(A) ≦ 2/(3√3),
　等号成立は (cosA, cosB, cosC) = (0, √（2/3), √(1/3)）またはその rotation.
を示せ。

　ｷｬｽﾌｨ! - 高校数学 - 不等式２ - 095

0083１３２人目の素数さん

2013/10/14(月) 03:23:11.65

>>69-70
　便宜上　C[n,n+1] = 0　としておく。

(1)　Σ_[k=1,n] (-1)^{k+1} C[n,k] (1/nn)^k
　　= C[n,1](1/nn) - Σ_[k=1,[n/2]] {C[n,2k](1/nn)^(2k) - C[n,2k+1] (1/nn)^(2k+1)}
　　= C[n,1](1/nn) - Σ_[k=1,[n/2]] C[n,2k](1/nn)^(2k) {1 - [(n-2k)/(2k+1)](1/nn)}
　　< C[n,1] (1/nn) = 1/n,

(2)　Σ_[k=1,n] C[n,k]{1/(nn-1)}^k > C[n,1]{1/(nn-1)} = n/(nn-1),

0084１３２人目の素数さん

2013/10/14(月) 03:26:51.02

>>69-70

(3)　Σ_[k=1,2n] C[2n,k]{1/(nn-1)}^k > C[2n,1]{1/(nn-1)} + C[2n,2]{1/(nn-1)}^2 + C[2n,3]{1/(nn-1)}^3
　　> C[2n,1]{1/(nn-1)} + C[2n,2]{1/(nn-1)}^2 + {6(nn-1)(n-2)/3!}{1/(nn-1)}^3
　　= C[2n,1]{1/(nn-1)} + n(2n-1){1/(nn-1)}^2 + (n-2){1/(nn-1)}^2
　　= C[2n,1]{1/(nn-1)} + 2(nn-1){1/(nn-1)}^2
　　= 2n{1/(nn-1)} + 2{1/(nn-1)}
　　= 2(n+1)/(nn-1)
　　= 2/(n-1),

0085１３２人目の素数さん

2013/10/16(水) 16:39:34.30

　S_{m,n} = a^m･b^n + b^m･c^n + c^m･a^n,　　>>79

[Corollary 2.6]
　f(a,b,c) = S_3 + p･S_{2,1} + q･S_{1,2} + r･U.
とおく。任意の a,b,c∈Ｒ_+ に対して f(a,b,c)≧0 が成り立つための条件は、
以下の２つの条件が成り立つことである。
(1)　f(1,1,1) = 3+3p+3q+r ≧ 0.
(2)　4p^3 + 4q^3 +27 ≧ (pq)^2 +18pq　or　"p≧0 and q≧0"

　//www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/ineq17.pdf

0086１３２人目の素数さん

2013/10/16(水) 17:27:41.96

>>78

〔定理2.3.9d.〕
　f(x,y,z) = S_4 + A･S_{3,1} + B･S_{1,3} + C･S_{2,2} + D･U･S_1,
は
　f(1,1,1) = 3(1+A+B+C+D) = 0,
を満たすとする。任意の非負実数 x,y,z に対して f(x,y,z)≧0 が成り立つための条件は、
以下の(1)～(6)のいずれかが成立することである。

0087１３２人目の素数さん

2013/10/16(水) 17:30:44.20

>>78 （続き)

(1)　C+2≧0, A+B≧0, A≦-2√(C+2), φ(A,B,C)≦0.
(2)　C+2≧0, A+B≧0, B≦-2√(C+2), φ(A,B,C)≦0.
(3)　C+2≧0, -√(C+4) ≦ A+B ≦ 0, A≧-2√(C+2), B≧-2√(C+2), φ(A,B,C)≧0.
(4)　C+2≧0, A+B≧0, A≧-2√(C+2), B≧-2√(C+2).
(5)　C≧0, AA+AB+BB ≦ 3C+3.
(6)　C+2≦0, A+B≧0, φ(A,B,C)≦0.
ここに、φ(A,B,C) = (ABC)^2 -4(AB)^3 +18(AA+BB)ABC -4(AA+BB)C^3 -(27A^4 +6AABB +27B^4) +16C^4 -80ABCC +144(AA+BB)C -192AB -128CC +256

　//www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/alg_ineq.pdf

0088１３２人目の素数さん

2013/10/19(土) 10:25:56.89

>> 87
その話で，f(1,1,1)=0という条件をはずした場合はどうなるのかというと，
実はかなり難しいのです。
「不等式」正誤表の末尾に，その話を追加しておきました。
長くて難しい話ですので，そちらをご覧下さい。
Linkは>>87の通りです。

0089１３２人目の素数さん

2013/10/19(土) 18:40:21.91

>>86-87

　(A,B,C,D) = (0,-3,2,0）　の場合が >>41-42

0090１３２人目の素数さん

2013/10/20(日) 00:02:09.40

>>41
　和書[8], p.74-75 例題2.3.10 (3)

〔類題〕
a,b,c∈R のとき
　(a^2+b^2+c^2)^2 + (8/√7)(aaab+bbbc+ccca) ≧ 0,

　和書[8], p.77-78 例題2.3.13 (2)

0091１３２人目の素数さん

2013/10/21(月) 23:40:17.56

〔問題〕　次式を代数的に示せ。

(1) x≧y≧1 のとき、
　1/(1+x^n) + (n-1)/(1+y^n) ≧ n/(1+x･y^(n-1)),

(2) a_1, a_2, ････, a_n ≧ 1 のとき、
　1/(1+a_1) + 1/(1+a_2) + ･･･････ + 1/(1+a_n) ≧ n/(1+G),
　ここに、G = (a_1･a_2･･････a_n)^(1/n),
　和書[8]、p.170 例題3.3.9 (10)

0092ななし

2013/10/22(火) 00:26:11.28

>>91

(1) n=1のときは明らかなので n≧2とする。
移項して分母を払うと
　{n + (n-1)x^n + y^n}{1+x･y^(n-1)} - n(1+x^n)(1+y^n)
　= {x･y^(n-1)}⊿_1 - ⊿_2
　≧ ⊿_1 - ⊿_2　　　(← x･y^(n-1) ≧1)
　= (x-y)^2 Σ[k=0,n-2] (k+1){x^k･y^(n-2-k) - x^(n-2-k)･y^k}
　= (x-y)^3 Σ[k=0,n-3] (k+1)(n-2-k) x^k y^(n-3-k)
　≧ 0,　　　　　　(← x-y≧0)
ここに
　⊿_1 = (n-1)x^n - n･x^(n-1)･y + y^n
　　　 = Σ[k=0,n-1] (x-y)(x^k - y^k)x^(n-1-k) ≧ 0,
　⊿_2 = x^n - n･x･y^(n-1) + (n-1)y^n
　　　 = Σ[k=0,n-1] (x-y)(x^k - y^k)y^(n-1-k) ≧ 0,

(2) nについての帰納法で。

和書[8] のような解析的な方法もあるが....

0093１３２人目の素数さん

2013/10/25(金) 13:26:38.30

確率関連の不等式（Markovの不等式とか，Hoeffdingの不等式とか）が充実してる本やサイトってない？

どの本にも載ってなさげなんだが．．．

0094１３２人目の素数さん

2013/10/25(金) 15:43:17.57

stochastic inequalities とか probability inequalities でAmazon検索すればいっぱい出てくる

0095１３２人目の素数さん

2013/10/30(水) 12:23:26.57

>>64
ｷｬｽﾌｨｰの解答から....

　|t| > ｜tanh(t)|

　(d/dt)arcsin(t) = 1/√(1-tt),
　(d/dt)sinh(t) = cosh(t) = 1/√{1-tanh(t)^2},
から |t|≦1 のとき
　arcsin(t) > sinh(t) > 0,
が出る。
　t > sin(sinh(t)) > 0,

|t| ≧ 1 でもこの式が成立つことは明らか。

　sinh(t) = x とおくと
　arcsinh(x) > sin(x) > 0,

0096１３２人目の素数さん

2013/11/07(木) 11:41:28.21

ｷｬｽﾌｨｰから....

〔問題〕
A,B,C>0, ABC ≧1 のとき
　(A+1)/(A+B+1) + (B+1)/(B+C+1) + (C+1)/(C+A+1) ≦ 2,
　B/(A+B+1) + C/(B+C+1) + A/(C+A+1) ≧ 1,
　等号成立は A=B=C=1.

casphy - 高校数学 - 不等式２ - 028(5), 112

0097１３２人目の素数さん

2013/11/15(金) 01:38:28.47

幾何的な不等式でもよければ
幾何学大辞典にもけっこう載ってるよね
著者本人が見つけたやつもいっぱい出てるからチェックしてみるといいよ

0098ななし

2013/11/15(金) 15:47:56.27

ｷｬｽﾌｨｰ! 不等式２のじゅーさんへ。
　まづはWEBで....

「一般化固有値問題」（明治大）
http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/labo/text/generalized-eigenvalue-problem/generalized-eigenvalue-problem.html

「極値としての固有値」（東京大）
http://www.misojiro.t.u-tokyo.ac.jp/~murota/lect-kisosuri/eigenmax070918.pdf

「§１固有値問題」（早稲田大）
http://www.waseda.jp/ocw/ComputerScience/17-1004345-01NumericalComputationsSpring2003/StudyMaterials/lec6.pdf

「Rayleigh商と2次形式の最大値,最小値」 - Quod Erat Demonstrandum
http://deepwave.web.fc2.com/rayleigh.pdf

0099ななし

2013/11/21(木) 00:38:50.46

同スレから....

(2) a,b,c >0 のとき
　(ab+bc+ca){1/(a+b)^2 + 1/(b+c)^2 + 1/(c+a)^2} ≧ 9/4,
　等号成立は a=b=c

(6) x,y,z >0 のとき
　xxx(yy+zz)^2 + yyy(zz+xx)^2 + zzz(xx+yy)^2
　- xyz{xy(x+y)^2 + yz(y+z)^2 + zx(z+x)^2} ≧ 0,

ｷｬｽﾌｨ! - 高校数学 - 不等式２ - 126～133

0100１３２人目の素数さん

2013/11/21(木) 01:47:49.32

ここで聞くのはスレチだとは思うがわかる人がいたら教えてほしい
以前は Live2ch でｷｬｽﾌｨ! を見れていたのだが
いつからか読み込めなくなった
同じ症状の人いない？

0101１３２人目の素数さん

2013/11/24(日) 14:28:07.16

>>99

〔Schur不等式の拡張〕
x,y,z≧0 で、x,y,z が△の三辺をなすとき
　x(a-b)(a-c) + y(b-c)(b-a) + z(c-a)(c-b) ≧0,
　（じゅー）

　ｷｬｽﾌｨ！ - 高校数学 - 不等式２ - 131～132

0102１３２人目の素数さん

2013/11/24(日) 20:20:27.12

>>99

〔Schur不等式の拡張〕
x,y,z≧0 で、x,y,z が a,b,c と同順または逆順のとき
　x(a-b)(a-c) + y(b-c)(b-a) + z(c-a)(c-b) ≧0,
　（じゅー）

　ｷｬｽﾌｨ！ - 高校数学 - 不等式２ - 131～132

0103１３２人目の素数さん

2013/11/26(火) 20:40:41.50

>>99 (6)
　yはxとzの中間にあるとしてよい。

　(左辺) - (右辺) = A(x-y)^2 + (A-B+C)(x-y)(y-z) + C(y-z)^2,
ここに
　A = yz(y^3 +z^3) + x(y-z)(y^3 -z^3) > 0,
　A-B+C = 2{(z+x)y - xz}y^3 ≧ 2{Max(x,z)min(x,z) - xz}y^3 = 0,
　C = xy(x^3 +y^3) + z(x-y)(x^3 -y^3) > 0,
より成立。

註)　z+x > Max(x,z) > 0,　y ≧ min(x,z) > 0,　を辺々掛けた。

0104１３２人目の素数さん

2013/12/19(木) 20:54:29.76

>>99

(1)　
a,b,cは相異なる正の実数とする。
　ab･log(a/b)/(a-b) + cyc. ≦ (1/3)(√a + √b + √c)^2,
を示せ。log は自然対数です。

(8)
任意の正の実数a,b,cに対し
　a/√(a+b) + b/√(b+c) + c/√(c+a) ≦ (5/4)√(a+b+c),
　等号成立は (a,b,c) = (3,1,0) またはその rotation.

　ｷｬｽﾌｨ! - 高校数学 - 不等式２ - 126

0105１３２人目の素数さん

2013/12/26(木) 01:23:03.85

|Aut(L/K)|≦[L:K]

0106１３２人目の素数さん

2014/01/02(木) 01:31:00.06

>>104 (1)

x>0 のとき
　2Log(x)/{x -(1/x)} = (2t)/{exp(t) - exp(-t)}
　= t/sinh(t)
　≦ 1,
より
　√(ab)･Log(a/b)/(a-b) = Log(a/b)/{√(a/b) - √(b/a)} ≦ 1,
よって
　(左辺) ≦ √(ab) + √(bc) + √(ca)
　　　　 ≦ (1/3)(√a + √b + √c)^2,

0107１３２人目の素数さん

2014/01/05(日) 07:45:41.88

↓の不等式うまい方法あるかな？

a[i],b[i],c[i]＞0および
a[i],{b[i]/c[i]}は減少列のとき
（Σa[i]b[i]）／（Σa[i]c[i]）≧（Σb[i]）／（Σc[i]）

0108１３２人目の素数さん

2014/01/05(日) 11:44:03.96

別にうまくないけど。
分数が嫌だから、b[i]/c[i]をあらためてb[i]として、式を整理すると、
(Σa[i]b[i]c[i]）(Σc[i]）≧(Σa[i]c[i])(Σb[i]c[i]）.
これは (左辺)-(右辺)＝Σ[i<j](a[i]-a[j])(b[i]-b[j])c[i]c[j]≧0 からいえる。

0109１３２人目の素数さん

2014/01/18(土) 19:41:47.51

〔問題158〕
　a,b,c >0,
　aa+bb+cc + abc = 2(ab+bc+ca),
のとき
　(ab+bc+ca) ≦ 3(a+b+c),
を示せ。

　ｷｬｽﾌｨ! - 高校数学 - 不等式２ - 158,161

0110１３２人目の素数さん

2014/01/19(日) 12:23:09.17

〔問題163〕
0≦a,b,c≦1 のとき,
　2(a^3+b^3+c^3) ≦ 3 + aab+bbc+cca,
等号成立は (a,b,c) = (0,1,1) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)

　ｷｬｽﾌｨ! - 高校数学 - 不等式２ - 163,164

0111１３２人目の素数さん

2014/01/19(日) 20:56:00.76

>>109
　
条件式と aa+bb ≧ 2ab から
　(c+ab)c ≦ (2a+2b)c,
c>0 で割って
　ab ≦ 2a+2b -c,
循環的にたす。

>>110

　1 +aab -(aa +b) = (1-aa)(1-b) ≧ 0,
から
　(aa+bb+cc) + (a+b+c) ≦ 3 + aab+bbc+cca,
が出る。

0112１３２人目の素数さん

2014/02/04(火) 00:05:10.49

x+y=2のとき、1/(1+x^2) + 1/(1+y^2) のとりうる範囲は？

普通にやったら泥臭くて吐いた。
(通分してq=xyのみの式に直したもの=kとおき、分母を払って整理した
qの2次方程式がqのとりうる範囲内に少なくとも1つの解を持つ云々)

きれいな解法求む。

0113１３２人目の素数さん

2014/02/05(水) 21:27:47.56

>>112

　xx+yy = (x+y)^2 -2xy = 4-2q,

　1/(1+xx) + 1/(1+yy) = (2+xx+yy)/(1+xx+yy+xxyy)
　= (6-2q)/(5-2q+qq) = k,
よって
　-(√2 - 1)/2 < k ≦ (√2 + 1)/2,

　最大は q = (√2 - 1)^2　のとき
　最小は q = (√2 + 1)^2　のとき

0114１３２人目の素数さん

2014/02/05(水) 21:29:49.64

入試問題や模試や大学への数学などから持ってきますた。（じゅー）

[1]
　|z+1/2| < 1/2 のとき
　|1+z+…+z^n| < 1 を示せ。 (東工大前期)

[2]
xx+yy+zz=1 のとき
　(1) (x-y)(y-z)(z-x)
　(2) (2x-y)(2y-z)(2z-x)
の取りうる最大の値を求めよ。 (大数宿題)

[3]
a,b,c>0, a+b+c+abc=4 のとき
　a+b+c ≧ ab+bc+ca を示せ。(大学宿題)

[4]
(xx+yy)^2 = xx-yy のとき
x+y の取りうる最大の値を求めよ。(早大プレ)

ｷｬｽﾌｨｰ! - 高校数学 - 不等式２ - 170

0115ななし

2014/02/05(水) 21:50:26.43

>>114 [3]

　a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
　s<3 と仮定すると、相加-相乗平均で u<1 となり題意を満たさない。
∴　3 ≦ s < 4,

　4s(s-t) = -s^3 +4ss -9u + F_1(a,b,c)
　　　　　= -s^3 +4ss -9(4-s) + F_1(a,b,c)
　　　　　= (4-s)(s-3)(s+3) + F_1(a,b,c)
　　　　　≧ 0,
ここに
　F_1(a,b,c) = s^3 -4st +9u ≧ 0,　(Schur)

0116ななし

2014/02/07(金) 20:38:22.91

>>114

[1]　zは中心-1/2, 半径1/2 の円内にある。
　　|z| ≦ |z +1/2| + 1/2 < 1,
また、|z|^2 = zz~ = (z +1/2)(z~ +1/2) -1/4 -(z+z~)/2 < -(z+z~)/2,
∴　|1 - z^(n+1)| ≦ 1 + |z|^(n+1)
　　< 1 + |z|^2
　　< √(1+3|z|^2)
　　< √{1 -(z+z~) +zz~}
　　= √{(1-z)(1-z~)}
　　= |1-z|,

[2]　(1)　x≦y≦z とする。
　(x-y)(y-x) ≦ (1/4)(z-x)^2,
　　　等号は y=(x+z)/2 のとき。
　∴ (x-z)^2 =　2{xx + [(x+z)/2]^2 + zz - (3/4)(x+z)^2}
　　　　　　 ≦ 2{(xx+yy+zz) - (3/4)(x+z)^2}
　　　　　　 =　2{1 - (3/4)(x+z)^2}
　　　　　　 ≦ 2,
　　　等号成立は (x,y,z) = (-1/√2, 0, 1/√2)
　(左辺) ≦ (1/4)(z-x)^3 ≦ 1/√2,
下限も同様に

[4]　軸を45ﾟ回す。
　u = (x+y)/√2,　v = (x-y)/√2,
与式は
　(uu+vv)^2 - 2uv = 0,
ここで、du/dv=0, とおくと、
　2v(uu+vv) -u = 0,
　u = 8v^3 = (√3)v,
　(u, v) = (±√{(3√3)/8}, ±√{(√3)/8})
　2(uu+vv) = u/v = √3,

0117ななし

2014/02/07(金) 21:06:57.69

>>114 [4]

連珠形とか、Jakob Bernoulli のレムニスケート（Lemniscate）
というらしい....

0118ななし

2014/02/09(日) 18:15:15.66

>>115

出題者によれば
”今のところ、対称性を崩さない綺麗な証明は見つかっていない。”

　Schur不等式にもそのまま言えそう...

0119115

2014/02/11(火) 22:14:41.65

>>118

F_1(a,b,c) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(c-a) + c(c-a)(c-b)
　　= (ab+ca)(a-b)(a-c)/(b+c) + ･････
　　= ab{(a-b)(a-c)/(b+c) + (b-c)(b-a)/(c+a)} + ･･････
　　= {ab(aa-bb)^2 + bc(bb-cc)^2 + ca(cc-aa)^2}/{(a+b)(b+c)(c+a)}
　　≧ 0　　　　　　　　　　　　　　　　　（じゅー）

0120１３２人目の素数さん

2014/02/11(火) 23:21:48.73

x^3+y^3+z^3=1 (x,y,z>0)の時
xxy+zzxの取りうる最大値を求めよ
(東進数学コンクール)

結局スマートな解法が思いつかないまま〆切を迎えてしまいました

0121１３２人目の素数さん

2014/02/12(水) 22:54:44.26

過去問でつが……

〔問題908〕
　正の実数 a,b,c に対して、次を示してくださいです。
　{(a+b+c)(aa+bb+cc)}^2 ≧ 27abc(a^3 +b^3 +c^3),

　2ch - 数学板 - 不等式スレ６ - 908
　ｷｬｽﾌｨｰ! - 高校数学 - 不等式１ - 964

0122１３２人目の素数さん

2014/02/15(土) 12:56:22.22

120 Chebyshev kills it
We could see a Golden Section

0123１３２人目の素数さん

2014/02/16(日) 15:57:03.91

>>121

　(a+b+c)(aa+bb+cc) = S+p+q,
ここに
　S = aaa + bbb + ccc,
　p = aab + bbc + cca,
　q = abb + bcc + caa,

　(左辺) = (S+p+q)^2
　　　≧ 9(Spq)^(2/3)
　　　≧ 9(SS･27SU)^(1/3)　　　　(← 補題)
　　　= 27Su,
ここに
　　S = aaa + bbb + ccc,
　　T = (ab)^3 + (bc)^3 + (ca)^3,
　　U = u^3 = (abc)^3,

〔補題〕
　pq ≧ 3(3STU)^(1/3) ≧ 3√(3SU),

(略証)
　pq = (aab+bbc+cca)(abb+bcc+caa)
　　 = T + uS + 3uu
　　 ≧ 3(3STU)^(1/3)
　　 ≧ 3√(3SU),　　　{← T≧√(3SU)}

0124１３２人目の素数さん

2014/02/16(日) 16:05:17.43

>>123

〔補題〕
　pq ≧ T + 2√(3SU) ≧ 3√(3SU),

(略証)
　pq = (aab+bbc+cca)(abb+bcc+caa)
　　 = T + uS + 3uu
　　 ≧ T + 2√(3SU)
　　 ≧ 3√(3SU),　　　{← T≧√(3SU)}

0125１３２人目の素数さん

2014/02/17(月) 18:51:56.53

>>112-113

　0 < k ≦ (√2 + 1),

　極大は q = (√2 - 1)^2 のとき
　下限は q → -∞ のとき

0126１３２人目の素数さん

2014/02/17(月) 23:49:38.94

(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

0127１３２人目の素数さん

2014/02/20(木) 20:58:32.81

〔問題179〕
x,y,z>0、xyz=1 のとき、
[Easy]
　xx+yy+zz ≧ 3 + 2(x-1)(y-1)(z-1),
[Hard]
　xx+yy+zz ≧ 3 + 2(1-x)(1-y)(1-z),
を示してくださいです。
[Hard] は [Easy] と比較して難しいかなぁって感じでつ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　（じゅー）

　ｷｬｽﾌｨｰ! - 高校数学 - 不等式２ - 179

0128ななし

2014/02/20(木) 21:12:45.27

>>127

Easy の方は
　(左辺)－(右辺) = (x+y+z+1)(x+y+z-3) - 2(xyz-1) ≧ 0 だが...

0129ななし

2014/02/21(金) 19:15:17.77

>>127

　x+y+z = s,
　xy+yz+zx = t,
　xyz = u,
とおくと Hard の方は
　(左辺)－(右辺) = (ss-2t) -3 +2(u-t+s-1)
　　 = (ss-4t) +2(u-1) +2s -3
　　 = {F_1(x,y,z) -9u}/s + 2(u-1) +2s -3
　　 = {F_1(x,y,z) +(2s-9)(u-1) +(s-3)(2s+3)}/s
　　 ≧ 0,　　　　　　　　　　　（天ぷら）
ここに
　F_1(x,y,z) = x(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y)
　　 = sss -4st +9u ≧ 0,　（Schur）

0130１３２人目の素数さん

2014/03/01(土) 10:21:13.88

0131１３２人目の素数さん

2014/03/01(土) 10:28:30.65

数オリ
http://www.imojp.org/challenge/old/images/jjmo12mq.jpg
http://www.imojp.org/challenge/old/images/jmo24mq.jpg

0132１３２人目の素数さん

2014/03/01(土) 12:30:14.33

　　∧＿∧
　　( ;´∀｀)　＜興奮してきた…
　人　Y　/
　(　ヽし
　（＿）＿）

0133１３２人目の素数さん

2014/03/01(土) 18:40:56.44

>>131 (2014年JMO本選)

〔問題5.〕
不等式
　a/{1+9bc+4(b-c)^2}　+ b/{1+9ca+4(c-a)^2} + c/{1+9ab+4(a-b)^2} ≧ 1/2,
が a+b+c=1 をみたす任意の非負実数a,b,cに対して成り立つことを示せ。

0134１３２人目の素数さん

2014/03/03(月) 02:35:18.55

>>130
イェンゼンをそのまま出すってつまらないな

0135１３２人目の素数さん

2014/03/05(水) 21:41:46.78

>>133

a+b+c=s のとき、コーシーにより、
　{a[ss+9bc+4(b-c)^2] + b[ss+9ca+4(c-a)^2] + c[ss+9ab+4(a-b)^2)]}(左辺)
　　≧ (a+b+c)^2 = ss,
よって
　(左辺) ≧ ss/{sss+27abc+4[s(ab+bc+ca)-9abc]}
　　= ss/{sss +4s(ab+bc+ca) -9abc}
　　≧ ss/(2sss)　　(← Schur)
　　= 1/(2s),　　　　(じゅー)

0136１３２人目の素数さん

2014/03/09(日) 23:29:23.76

この『じゅー』って今年阪大挑戦枠受かった子？

0137１３２人目の素数さん

2014/03/10(月) 01:21:57.02

知らんがなｗ

0138１３２人目の素数さん

2014/03/10(月) 01:30:38.44

自己紹介乙！

0139１３２人目の素数さん

2014/03/10(月) 08:24:33.61

阪大の合格発表見たけど
数学挑戦枠の合格者一人だけだった
去年に引き続きなかなかエグい試験だったってことだな

0140１３２人目の素数さん

2014/03/11(火) 04:31:34.09

この人
https://twitter.com/yjjswm

0141prime_132

2014/03/15(土) 21:42:02.66

いちょう祭が楽しみ...♪

ちなみに小生は学科違いの S53入、S59院卒だが何か？

0142１３２人目の素数さん

2014/03/15(土) 22:14:50.71

>>136-141

http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1331245369/
へ　ﾄﾞｿﾞｰ

0143１３２人目の素数さん

2014/03/17(月) 23:38:33.45

a,b,cは負でない実数でかつab+bc+ca+abc=4を満たす時
a+b+c≧ab+bc+ca

0144１３２人目の素数さん

2014/03/20(木) 23:49:29.60

>>114 [3] の類題？

>>115

0145ななし

2014/03/24(月) 20:20:36.02

>>143

s,t,u を >>115 のようにおく。
　t<3 と仮定すると、相加-相乗平均で u<1 となり題意を満たさない。
∴　3 ≦ t < 4,

s≧4 のときは明らか。
s<4 のとき
　(4s+9)(s-t) = -s^3 +4ss +9(s-t-u) + F_1(a,b,c)
　　　= -s^3 +4ss +9(s-4) + F_1(a,b,c)
　　　= (4-s)(s-3)(s+3) + F_1(a,b,c)
　　　≧ 0,　　　　(← s≧√(3t)≧3)
ここに
　F_1(a,b,c) = s^3 -4st +9u ≧ 0, (Schur)

0146１３２人目の素数さん

2014/03/29(土) 01:38:18.83

>>120

相加-相乗平均
　axxx + axxx + yyy ≧ (1/k)xxy,
　(1-2a)xxx + zzz/2 + zzz/2 ≧ (1/k)xzz,
を辺々たすと
　xxx+yyy+zzz ≧ (1/k)(xxy+xzz),

係数を比べて、
　aa = (1-2a)/4 = 1/(3k)^3,
aを消すと、
　k = (1/3)(1+√5)^(2/3) = 0.729273617

casphy - highmath - 不等式２ - 173-174
//twitter.com/Inequaltybot/　[181]

0147１３２人目の素数さん

2014/04/01(火) 22:21:02.29

正数x,y,zが xyz = 1 のとき
　x^3 + y^3 + z^3 + 1/x^3 +1/y^3 + 1/z^3 - 6*( x/z + y/x + z/y ) +12 ≧0

って成り立ちますか？

0148１３２人目の素数さん

2014/04/02(水) 09:59:59.81

ｘ＾２－ｘ－１＝０。
ｙ＝１。
ｚ＝ｘ－１。

0149１３２人目の素数さん

2014/04/05(土) 21:17:36.82

正変数a_1, a_2, ・・・, a_n について A_n = (a_1+a_2+・・・+a_n)/n , G_n = (a_1*a_2*・・・*a_n)^(1/n) とするとき

　n(A_n-G_n) ≧ (n-1)(A_(n-1) - G_(n-1))

が成り立つそうなのですがどう示されるのでしょう

0150１３２人目の素数さん

2014/04/07(月) 20:05:40.74

(a^4+b^4+c^4)^3≧(a^3+b^3+c^3)^4ってどうやって示せばいいんだっけ

0151１３２人目の素数さん

2014/04/07(月) 20:26:10.23

頭わるそうなやり方だけどlog取って12で割って増減調べりゃいいんじゃない

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不等式への招待 第７章

不等式への招待　第７章