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不等式への招待　第７章

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0001不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)

2013/03/09(土) 22:14:39.95

ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　　　　黙っちゃゐられねゑ！
　　　　|┃=＿＿　　　＼　　　　　　　　　ﾊｧﾊｧ…
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ガラッ

まとめWiki　http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/

過去スレ
・不等式スレッド　（第１章）http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待第２章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待第３章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待第４章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待第５章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待第６章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・過去スレのミラー置き場　http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/

姉妹サイト（？）
キャスフィ高校数学板不等式スレ２
http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/l50
Yahoo! 掲示板　トップ > 科学 > 数学
http://messages.yahoo.co.jp/bbs?action=t&;amp;board=1835554&sid=1835554&type=r&first=1

0002不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)

2013/03/09(土) 22:22:07.38

・不等式の和書
[1]　不等式，ハーディ・リトルウッド・ポリヤ，シュプリンガー，2003年
　　http://amazon.jp/o/ASIN/4431710566
[2]　不等式，大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版）
[3]　不等式への招待，大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年
　　 http://amazon.jp/dp/4844372661
[4]　不等式入門（数学のかんどころシリーズ９），大関清太，共立出版，2012年
　　 http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/978432001...
[5]　不等式入門，渡部隆一，森北出版，2005年
　　 http://amazon.jp/o/ASIN/4627010494
[6]　不等式の工学への応用、海津聰、森北出版，2004年
　　 http://amazon.jp/o/ASIN/4627075812
[7]　不等式（モノグラフ４），染取弘，科学新興新社，1990年
　　 http://amazon.jp/o/ASIN/4894281740
[8]　不等式～ 21世紀の代数的不等式論～，安藤哲哉，数学書房，2012年
　　http://amazon.jp/dp/4903342700

・不等式の項目を含む和書
[1]　数学トレッキングツアー第３章「相加平均≧相乗平均」，東京理科大学数学教育研究所，教育出版，2006年
　　http://amazon.jp/o/ASIN/4316801988
[2]　獲得金メダル！国際数学オリンピック第１章「不等式」，小林一章，朝倉書店，2011年
　　http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-1113...
[3]　数学オリンピック事典，数学オリンピック財団，朝倉書店，2001年
　　http://amazon.jp/o/ASIN/4254110871
[4]　三角法の精選103問（シリーズ：数学オリンピックへの道 2），T.アンドレースク・Z.フェン著，朝倉書店，2010年
　　http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-1180...
[5]　最大値と最小値の数学，P.J.ナーイン，シュプリンガー，2010年
　　http://amazon.jp/dp/4621062131
[6]　最大・最小（数学one Point双書24），服部泰，共立出版，1979年
　　http://amazon.jp/dp/4320012445

0003不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)

2013/03/09(土) 22:24:39.92

・不等式の洋書
[1]　The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities，J. M. Steele，Cambridge Univ. Pr.，2004年
　　 http://amazon.jp/o/ASIN/052154677X
[2]　Inequalities: A Mathematical Olympiad Approach，Birkhaeuser Basel，2009年
　　 http://amazon.jp/dp/3034600496
[3]　Inequalities: Theorems (Techniques and Selected Problems)，Zdravko Cvetkovski，Springer，2012年
　　 http://amazon.jp/gp/product/3642237916
[4]　Analytic Inequalities，Xingzhi Zhan，Dragoslav S., Dr. Mitrinovic，Springer，1970年
　　 http://www.amazon.co.jp/dp/3642999727
[5]　Matrix Inequalities (Lecture Notes in Mathematics, No.1790)，Xingzhi Zhan，Springer，2002年
　　 http://amazon.jp/dp/3540437983
[6]　Matrix Analysis (Graduate Texts in Mathematics)，Rajendra Bhatia，Springer，1996年
　　 http://amazon.jp/dp/0387948465

・不等式の記事
[1]　特集「現代の不等式」（数理科学 No.386），サイエンス社，1995年8月号（絶版）
[2]　特集「不等式の世界」（数学セミナー No.2-569），日本評論社，2009年2月号
　　 http://amazon.jp/o/ASIN/B001O9UIZ8
[3]　連載「不等式の骨組み」（大学への数学 vol.53，全12回，各4ページ），栗田哲也，東京出版，2009年4月号-2010年3月号
　　 http://www.tokyo-s.jp/index.shtml

0004不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)

2013/03/09(土) 22:26:43.52

・不等式の埋蔵地
[1]　RGMIA　http://rgmia.vu.edu.au/
[2]　Crux Mathematicorum Synopses　http://www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/
[3]　Maths problems　http://www.kalva.demon.co.uk/
[4]　Mathematical Inequalities & Applications　http://www.ele-math.com/
[5]　American Mathematical Monthly　http://www.maa.org/pubs/monthly.html
[6]　Problems in the points contest of KöMaL　http://www.komal.hu/verseny/feladatok.e.shtml
[7]　IMO リンク集　http://imo.math.ca/
[9]　Mathematical Olympiads Correspondence Program　http://www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/
[10]　Mathematical Excalibur　http://www.math.ust.hk/excalibur/
[11]　MathLinks Contest　http://www.mathlinks.ro/Forum/contest.html
[12]　MATH PROBLEM SOLVING WEB PAGE　http://www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_s... (要自動登録)
[13]　Wolfram MathWorld　http://mathworld.wolfram.com/
[14]　GRA20 Problem Solving Group　http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/GRA20/main.htm...
[15]　American Mathematical Monthly Problems　http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/AMM/amm.html
[16]　Journal of Inequalities and Applications http://www.hindawi.com/journals/jia/
[17]　すうじあむ http://suseum.jp/gd/all_berry_list/3504

・海外不等式ヲタの生息地
[1] Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics　http://jipam.vu.edu.au/
[2] MIA Journal　http://www.mia-journal.com/
[3] MathLinks Math Forum　http://www.mathlinks.ro/Forum/forum-55.html

0005１３２人目の素数さん

2013/03/09(土) 22:35:09.24

〔問題〕
a,b,c>0, (r=2/3 または r=1 または r≦0) のとき
　{2a/(b+c)}^r + {2b/(c+a)}^r + {2c/(a+b)}^r ≧ 3.
を示せ。

　casphy - 高校数学 - 不等式２ - 032-035, 042-043
　USAMO ?

0006KingMathematician ◆LoZDre77j4i1

2013/03/10(日) 07:31:04.00

円周率をπと書く. 223/71 < π < 22/7. Archimedes の時代から知られていたらしい.

0007１３２人目の素数さん

2013/03/10(日) 23:03:05.50

不等式大好きでつ！

0008１３２人目の素数さん

2013/03/10(日) 23:11:29.38

>>2
追加でつ！

不等式への招待第６章
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/901

901 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2012/12/06(木) 23:47:56.44
美しい不等式の世界 ─数学オリンピックの問題を題材として─

A5／272ページ／2013年01月25日
ISBN978-4-254-11137-8　C3041
定価3,990円（税込）
佐藤淳郎訳

"Inequalities A Mathematical Olympicd Approach"の翻訳。
数学全般で広く使われる有名な不等式や実用的テクニックを系統立てて説明し，
数学オリンピックの問題をふんだんに使って詳しく解説。
多数の演習問題およびその解答も付す。

http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11137-8/

きたか…！！

　　( ﾟдﾟ )　ｶﾞﾀｯ
　　.r　　ヾ
＿_|_|　/￣￣￣/＿
　　＼/　　　　/

0009１３２人目の素数さん

2013/03/11(月) 12:45:08.18

>>5
そういえば、東大の入試で円周率の不等式が出て話題になったな。
簡単と思いきや、出来が悪かったそうだ。

問題．円周率 π は、３．０５より大きいことを証明せよ。

0010不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)

2013/03/12(火) 00:25:08.56

>>2 の修正
すまなんだ
まとめWikiからコピペしたら、長いURLは ...... と略されるのを忘れていました

>>2
・不等式の和書
[4]　不等式入門（数学のかんどころシリーズ９），大関清太，共立出版，2012年
　　http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320019898

・不等式の項目を含む和書
[2]　獲得金メダル！国際数学オリンピック第１章「不等式」，小林一章，朝倉書店，2011年
　　http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11132-3/
[4]　三角法の精選103問（シリーズ：数学オリンピックへの道 2），T.アンドレースク・Z.フェン著，朝倉書店，2010年
　　http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11808-7/

>>4
・不等式の埋蔵地
[12]　MATH PROBLEM SOLVING WEB PAGE
　　http://www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_solving/ (要自動登録)

　　　　　　　　∧＿∧
　　　　　　　（´Д｀　）　　　死んでお詫びを…
　　　　　　　 / 　y/　ヽ　　　　　　
　　　　Σ(m)二フ ⊂[_ノ
　　　　　　（ノノノ | | | l ）
　　　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣

0011１３２人目の素数さん

2013/03/12(火) 15:48:06.49

最近不等式の証明の世界を知りました高一です
学校ではn=2の場合においてのAM-GM不等式しか習いませんでした

ですが、最近とある人から数オリクラスの不等式の証明もある事を聞き興味を持ってます
まずこのスレに出てくるような問題を解くために勉強すべき事はなんでしょうか
現時点で三角関数までしかやってないです

0012１３２人目の素数さん

2013/03/12(火) 17:12:10.60

>>11
あらゆる問題に触れる

0013１３２人目の素数さん

2013/03/12(火) 19:19:54.75

何をおいてもまずは微分積分を身に着けてから
数Ⅲの教科書を取り寄せて勉強するべし

0014１３２人目の素数さん

2013/03/13(水) 00:24:33.98

>>9

原点(0,0)を中心とする単位円上に2点
　A (1, 0)
　B (1/√2, 1/√2)
をとる。弧AB は円周の 1/8 である。
　|AB|^2 = (1 - 1/√2)^2 + (1/√2)^2
　　　　= 2 - √2 > 2 - 1.414775 = 0.585225 = 0.765^2,
　AB = √(2-√2) > 0.765
　π > 4･AB > 3.06

0015１３２人目の素数さん

2013/03/13(水) 01:05:14.09

>>9
2003年の東大理系の問題だったんだよね。

当時は小学校で円周率がおよそ３で済ます、ということになり、それでは数学教育として余りにも酷い、
というメッセージを世間に送る意味で出題させれたという時代背景があった。

一応日本の最高学府のしかも理系の問題でそれを提示することで、当時の数学教育に反論するのが狙い。
東大ともなると、単に難しい問題を出すだけでなく、高校数学界への影響も考慮してと意外と大変ですね。

0016１３２人目の素数さん

2013/03/13(水) 12:48:17.91

今年の入試問題
http://nyushi.yomiuri.co.jp/13/sokuho/hokkaido/koki/sugaku/images/mon1_1.gif

0017１３２人目の素数さん

2013/03/13(水) 21:44:36.82

>>14
C (cosθ, sinθ)
とおくと、
　|AC|^2 = (1-cosθ)^2 + (sinθ)^2
　　　　 = 2(1-cosθ),

(例)　θ=π/6 のとき
　　C((√3)/2, 1/2)

　|AC|^2 = 2 - √3 = 0.268
　π > 6|AC| > 3.10

　|BC|^2 = 2 - √(3/2) - √(1/2) = 0.068
　π > 12|BC| > 3.13

0018１３２人目の素数さん

2013/03/14(木) 00:28:02.56

>>17
円周率の評価の証明で、弧度法を使ったらダメだろうが！

証明すべきこと（１周=2π）を使っているんだから、全然証明になってない。

0019１３２人目の素数さん

2013/03/14(木) 00:34:32.89

１周=2πはsinの周期（あるいはexpの周期）からわかることです
問題ありません

0020１３２人目の素数さん

2013/03/14(木) 00:38:11.02

証明すべきことは
＞問題．円周率 π は、３．０５より大きいことを証明せよ。
なんだが

0021１３２人目の素数さん

2013/03/14(木) 00:44:08.22

>>20
円周率の定義を知らないのか？

0022１３２人目の素数さん

2013/03/14(木) 00:45:34.17

>>21
教えて

0023１３２人目の素数さん

2013/03/14(木) 01:20:56.01

>>16
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…してもよろしいでしょうか？

0024１３２人目の素数さん

2013/03/14(木) 02:14:13.46

>>15
円周率が3となっていたのは日能研の電車の吊り広告での話
実際の教科書見たらそうじゃないってのはすぐにわかるのに
メディアが円周率3って大きく取り上げた
それだけのこと

0025１３２人目の素数さん

2013/03/14(木) 02:26:39.53

>>16
(1) x=1 で最小
（２）　x＝y　で最小、
　　　　　　　　　最小値が　x＝y＝１　のとき　０になる
おしまい

0026１３２人目の素数さん

2013/03/15(金) 00:26:03.20

>>16 (1)

t≠1 のとき、f(x) = t^x は下に凸。
　{f(c)-f(0)}/(c-0) ≧ f '(0) ≧ {f(0)-f(-b)}/{0-(-b)},

0027１３２人目の素数さん

2013/03/15(金) 04:39:07.65

>>16 (2)
重み付き相加相乗平均より、
　(a/(a+b+c))s + (b/(a+b+c))t + (c/(a+b+c))u ≧ s^(a/(a+b+c)) t^(b/(a+b+c)) u^(c/(a+b+c)).
上式に、 s = x^(a+b+c), t = y^(a+b+c), u = 1 を代入して整理。

0028１３２人目の素数さん

2013/03/15(金) 23:47:38.17

>>16 (1)
上式に、 a=0, s>0, t=T^(b+c), u=1 を代入して整理。

0029１３２人目の素数さん

2013/03/16(土) 02:05:50.63

今年の入試問題
http://kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/13/kb2-21p/5.gif

0030１３２人目の素数さん

2013/03/16(土) 16:33:04.08

x_i(1≦i≦n+1)は正の実数でx_1+x_2+……+x_n=1, x_(n+1)=0を満たす時
Σ[k=1_n]{√(Σ[p=1_k]x_k)×√(1+Σ[q=k+1_n+1]x_q)×x_k}＞π/4

0031１３２人目の素数さん

2013/03/17(日) 00:30:31.82

>>30
半径1の四分円を幅がx_iになるようにスライスして面積を考える

0032１３２人目の素数さん

2013/03/25(月) 03:03:59.89

>>30
【審議凍結】
　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　／|／／　　　　　　　　　　／　／／|
　／／|／　／　　　　　　　／／　／／　|
　|￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣|.///.|
　|／　|　　.∧,,∧. 　∧,,∧.／／／　│ 　 .|
　|　 ∧∧(´‐ω‐｀)(´‐ω‐｀)∧∧.　　.| 　　.|
　|　(´‐ω‐).∧∧) (∧∧　(‐ω‐｀)　.│///|
　|　｜　Ｕ (´‐ω‐｀)(´‐ω‐｀) とﾉ .／| . 　 |
　|　　ｕ-ｕ　（l 　　 ) ( 　　　ﾉ u-ｕ／ .|/// |
　|　　　　　 `ｕ.／ '／ｕ-u'　　　　　　 |　／
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　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣

0033１３２人目の素数さん

2013/03/26(火) 00:14:38.70

>>30

　y_0 = 1, 　
　y_k = Σ[q=k+1,n] x_q　
　y_n = 0,
とおくと、y_k は単調減少で
　(左辺) = Σ[k=1_n] √(1 - y_k) × √(1 + y_k) × {y_(k-1) - y_k}
　　　　 = Σ[k=1_n] √{1 - (y_k)^2} × {y_(k-1) - y_k}
　　　　 > Σ[k=1_n] ∫[y_k, y_(k-1)] √(1-yy) dy
　　　　 = ∫[0,1] √(1-yy) dy　　　（半径1の四分円 >>31)
　　　　 = π/4.

0034１３２人目の素数さん

2013/03/26(火) 00:28:41.47

>>29
どこの入試問題ですか？

0035１３２人目の素数さん

2013/03/26(火) 00:40:00.39

問題の表記や文字から神戸大

0036１３２人目の素数さん

2013/03/30(土) 21:23:53.23

〔問題〕
　√(1+xx) － |x| = F(x) とおくとき、次を示せ。

(1)　|xy|≦1/2　⇒　F(x) + F(y) ≧ 1,

(2)　|xyz| ≦ (4/3)^3　⇒　F(x) + F(y) + F(z) ≧ 1,

(3)　|xy| ≧ (3/4)^2　⇒　F(x) + F(y) ≦ 1,

　[元スレ.414, 459, 482]
　casphy - 高校数学 - 不等式スレ [1-919]

0037１３２人目の素数さん

2013/03/30(土) 23:05:12.60

>>36

(1) 分子を有利化する。
　F(x) + F(y) -1 = √(1+xx) + √(1+yy) - (1+x+y)
　　= {2√(1+xx)･√(1+yy) - (-1+2x+2y+2xy)}/D1
　　= {1 + 2(1-2xy)(1+2x+2y)}/(D1･D2)
　　≧ 0,　　　　(← |xy|≦1/2)

ここに、D1 = √(1+xx) + √(1+yy) + (1+x+y) >0,
　　　　D2 = 2√(1+xx)･√(1+yy) + (-1+2x+2y+xy) >0,

(3) 上と同様に
　1 + 2(1-2xy)(1+2x+2y)
　　=　1 + 2(1-2GG)(1+2x+2y)
　　≦ 1 + 2(1-2GG)(1+4G)　(← AM≧GM)
　　=　(3-4G)(1+2G)^2
　　≦ 0,　　　　　　　　　(← G≧3/4)

0038１３２人目の素数さん

2013/04/28(日) 07:48:43.97

実数x,y,zがx^2+y^2+z^2=1 を満たすとき
xy^2 + yz^2 + zx^2 のとり得る値の範囲はどうもとめればいいでしょｙか

0039１３２人目の素数さん

2013/04/28(日) 10:08:16.03

x≦y≦zとしてあげたらいいんじゃない？

0040１３２人目の素数さん

2013/04/29(月) 19:19:55.62

>>38
ｷｬｽﾌｨｰの解答....

コーシーにより
　(xy^2 + yz^2 + zx^2)^2 ≦ {(xy)^2 + (yz)^2 + (zx)^2}(y^2 + z^2 + x^2),
　等号成立は x=y=z のとき,
とし、右辺に
　XY+YZ+ZX = {2(X+Y+Z)^2 -(X-Y)^2 -(Y-Z)^2 -(Z-X)^2}/6
　　　　　 ≦ (1/3)(X+Y+Z)^2,
を使えばいいんじゃない？

　(xy^2 + yz^2 + zx^2)^2 ≦ (1/3)(x^2 + y^2 + z^2)^3 = 1/3,

∴取り得る値の範囲は－1/√3 ～ 1/√3.
　　(x=y=z=±1/√3 のとき)

0041１３２人目の素数さん

2013/04/30(火) 15:56:19.65

a,b,c∈R
(a^2+b^2+c^2)^2 ≧ 3(ab^3+bc^3+ca^3)

0042１３２人目の素数さん

2013/04/30(火) 21:32:41.45

>>41
その問題は [第５章.288] のように、
　p = a^2 -ca +bc,
　q = b^2 -ab +ca,
　r = c^2 -bc +ab,
とおくといいらしいよ。

　p + q + r = a^2 + b^2 + c^2,
　pq + qr + rp = ab^3 + bc^3 + ca^3,
より
　(a^2 +b^2 +c^2)^2 - 3(ab^3 +bc^3 +ca^3)
　　= (p+q+r)^2 - 3(pq+qr+rp)
　　= (1/2){(p-q)^2 + (q-r)^2 + (r-p)^2}
　　≧ 0,

　[第５章.268-269, 284-290]
　[ｷｬｽﾌｨｰ不等式１-517, 563]

0043１３２人目の素数さん

2013/04/30(火) 22:02:48.24

〔類題〕
a,b,c ≧ 0 のとき
　(a^2 +b^2 +c^2)^2 ≧ 3{a^(4/3)･b^(8/3) + b^(4/3)･c^(8/3) + c^(4/3)･a^(8/3)},

(略解)
相加･相乗平均により
　(ab)^2 + (ab)^2 + b^4 = (a^2 +a^2 +b^2)b^2 ≧ 3a^(4/3)･b^(8/3),
　循環的にたす。

0044１３２人目の素数さん

2013/04/30(火) 22:33:15.02

第５章とはどの書物のことでしょうか

0045１３２人目の素数さん

2013/04/30(火) 23:03:40.70

スレタイをよく読め

0046１３２人目の素数さん

2013/04/30(火) 23:09:46.08

ああああああそうか
すみません

0047１３２人目の素数さん

2013/05/26(日) 20:35:53.55

〔問題〕
n∈N のとき、
　1/{2n + 4/(n+3)} < ∫[0,π/4] {tan(x)}^n dx < 1/(2n),
を示せ。（ﾌﾞﾘｼﾞｯﾀ）

　casphy - 高校数学 - ∫積分∫ - 046

0048１３２人目の素数さん

2013/05/31(金) 23:01:32.22

>>47
　ｷｬｽﾌｨｰの解答....

(右)
　tan(x) = t とおくと、dx = dt/(1+tt),
　1+tt > 2t,　（← 相加・相乗平均）
　Ｉ_n = ∫[0,1] (t^n)/(1+tt)　dt
　　　 < ∫[0,1] t^(n-1) /2　dt
　　　 = [ (t^n) /(2n) ](x=0,1)
　　　 = 1/(2n),
(左)
　Ｉ_n = 1/(n+1) - Ｉ_(n+2)
　　　> 1/(n+1) - 1/{2(n+2)}
　　　= (n+3)/{2(n+1)(n+2)}
　　　= (n+3)/{2n(n+3) + 4}
　　　= 1/{2n + 4/(n+3)},

0049１３２人目の素数さん

2013/06/03(月) 22:28:46.67

>>48

　Ｉ_n > 1/(n+1) - 1/{2(n+2)}
　　　 = ∫[0,1] (t^n)(1 - t/2) dt,
は t=1 で接線を引いて
　　1/(1+tt) ≧ 1 - t/2,
としたことに相当する。
さらに
　1/(1+tt) ≦ (5-4t+tt)/4,
から、
　Ｉ_n < {5/(n+1) -4/(n+2) +1/(n+3)}/4
　　　 = (nn+6n+10)／{2(n+1)(n+2)(n+3)}
　　　 = (nn+6n+10)／{2n(nn+6n+10) +2(n+6)}
　　　 = 1／{2n + 2(n+6)/[n(n+6)+10]}
　　　 = 1／{2n + 2/[n + 10/(n+6)]}.

0050１３２人目の素数さん

2013/06/03(月) 23:11:29.81

ｷｬｽﾌｨｰから....

〔問題731〕
0 < |x| < π/2 のとき、
　sin(x)/x > cos(x/√3) > cos(x)^(1/3),
　　　　　　　　　　　　　　（でえ）

0051１３２人目の素数さん

2013/06/05(水) 23:07:37.09

↑のハイパボリック版...

〔問題738〕
　sinh(x)/x > cosh(x/√3) > cosh(x)^(1/3),
　　　　　　　　　　　　　　　(prime_132)

cos(√t)　(0<t<π^2)、cosh(√t) は下に凸らしい....

0052１３２人目の素数さん

2013/06/09(日) 21:28:40.72

>>50 右
　g(t) = cos(√t)　は下に凸。3倍角公式から、
　cos(x/√3)^3 = {3cos(x/√3) + cos((√3)x)}/4
　　　　　 = {3g(xx/3) + g(3xx)}/4
　　　　　 > g(xx)　　　(← Jensen)
　　　　　 = cos(x),
　
>51 右
　g(-t) = cosh(√t)　は下に凸。3倍角公式から、
　cosh(x/√3)^3 = {3cosh(x/√3) + cosh((√3)x)}/4
　　　　　 = {3g(-xx/3) + g(-3xx)}/4
　　　　　 > g(-xx)　　　(← Jensen)
　　　　　 = cosh(x),

0053１３２人目の素数さん

2013/06/09(日) 21:33:06.16

>>52

　g(t) は t≦20 で下に凸。

(略証)
・t>0 のとき
　g(t) = cos(√t),
　g '(t) = -sin(√t)/(2√t),
　g "(t) = {sin(√t) - (√t)cos(√t)}/(4t√t),
　そこで sinθ - θ･cosθ = 0, θ>0 となる最小のθを求める。
　1/θ = 1/tanθ = tan((3/2)π - θ) > (3/2)π - θ,
　1/θ + θ > (3/2)π > (20 + 1)/(√20),
　θ > √20 ≧ √t,

・t≦0 のとき
　マクローリン展開
　g(-t) = 1 + (1/2!)t + (1/4!)tt + ････ + {1/(2k)!}t^k + ････
　の係数がすべて正。

0054１３２人目の素数さん

2013/06/10(月) 20:40:07.13

>>53

θ ～ 4.493409457909
　　= (3/2)π - 0.21897952247563

√20 ～ 4.472135955

0055１３２人目の素数さん

2013/06/16(日) 00:09:30.45

左側はマクローリン展開。

>>50 左
　sin(x)/x > 1 - xx/3! + (x^4)/5! - (x^6)/7!
　　　 = 1 - xx/3! + (x^4)/216 + (x^4)(1/270 - xx/7!)
　　　 > 1 - xx/3! + (x^4)/216　　　(← xx<14)
　　　 > cos(x/√3),

>>51 左
　2k+1 ≦ 3^k,
　sinh(x)/x = 納k=0,∞) (xx)^k／(2k+1)!
　　　　　　> 納k=0,∞) (xx/3)^k／(2k)!
　　　　　　=　cosh(x/√3),

0056１３２人目の素数さん

2013/06/16(日) 00:18:37.18

成程

0057１３２人目の素数さん

2013/06/18(火) 22:07:49.29

〔類題〕
|xyz| ≦1 のとき、次を示せ。
　√(1+xx) + √(1+yy) + √(1+zz) -|x| -|y| -|z| ≧ 1,

[前スレ.414、459、482]

0058１３２人目の素数さん

2013/06/18(火) 22:12:24.34

>>57
ｷｬｽﾌｨｰの解答....

　√(1+xx) - |x|
　　 =　1/{√(1+xx) + |x|}
　　 ≧ 1/(1+2|x|)
　　 =　X／{X + 2|x|^(1/3)}
　　 ≧ X／{X + 2/|yz|^(1/3)}　　　(x≦1/yz)
　　 ≧ X／{X + 1/|y|^(2/3) + 1/|z|^(2/3)}
　　 =　X／(X + Y + Z),
ここに、X = 1/|x|^(2/3)、Y = 1/|y|^(2/3)、Z = 1/|z|^(2/3),

0059１３２人目の素数さん

2013/07/12(金) NY:AN:NY.AN

a, b, c>0, (1/ab)+(1/bc)+(1/ca)=1 のとき.

(a-1)(b-1)(c-1)>=2(3√3-5)を示せ。

0060１３２人目の素数さん

2013/07/17(水) NY:AN:NY.AN

>>59
例によって基本対称式を
　a+b+c = s,　ab+bc+ca = t,　abc = u,
とおく。題意より
　s = u,
　9/t = 9/(ab+bc+ca) ≦ 1/(ab) + 1/(bc) + 1/(ca) = 1,
　t ≧ 9,
したがって
　(4t-9)[t + 3(2√3 -3)]^2 - 4t^3 = (t-9){3(16√3 -27)t + 27(2-√3)^2} ≧0,

Schur不等式（n=-2）より
　0 ≦ F_(-2)(a,b,c)
　　= abc･F_1(1/a,1/b,1/c)
　　= (t^3 -4stu +9uu)/uu
　　= {4t^3 - (4t-9)(s+u)^2}/(4uu)　(← s=u)
　　≦ (4t-9){[t + 3(2√3 -3)]^2 - (s+u)^2}/(4uu),

∴　[t + 3(2√3 -3)] ≧ s+u,
∴　(a-1)(b-1)(c-1) = u -t +s -1 ≦ 2(3√3 -5),

0061１３２人目の素数さん

2013/07/18(木) NY:AN:NY.AN

昨日行ったファミレス。席に着くなり「ただいま○○フェアで
○○○○がお勧めです」と言うので「じゃあそれを」と頼んだら
「申し訳ありません、本日は完売となっております」って。
じゃあ勧めるなよおい。完売でもとにかく言わないといけないという
決まりでもあるのかね。

0062nobu

2013/07/20(土) NY:AN:NY.AN

mixi招待してください

0063１３２人目の素数さん

2013/07/20(土) NY:AN:NY.AN

>>59
ｷｬｽﾌｨｰの解答から....

a>1, b>1, c>1, で示せばいい。
附帯条件は
　0 = (a-1)(b-1)(c-1) + (a-1)(b-1) + (b-1)(c-1) + (c-1)(a-1) -2
　　≧ (a-1)(b-1)(c-1) + 3{(a-1)(b-1)(c-1)}^(2/3) -2
　　= GGG +3GG -2
　　= (G+1)^3 -3(G+1)
　　= (G+1){(G+1)^2 -3},
ここに、 G = {(a-1)(b-1)(c-1)}^(1/3),
∴　G ≦ √3 -1,
∴　(a-1)(b-1)(c-1) = GGG ≦ (√3 -1)^3 = 2(3√3 -5),
　　　　　　　　　　　　　　　　（じゅー）

0064１３２人目の素数さん

2013/07/25(木) NY:AN:NY.AN

log(x+√1+x^2)>sinx (x>0)

0065１３２人目の素数さん

2013/07/26(金) NY:AN:NY.AN

ピーター・フランクルの本より出題

任意の実数xについて、
sinx+sin√2x≦2-1/(100*(1+x^2))
が成立することを示せ

0066１３２人目の素数さん

2013/07/26(金) NY:AN:NY.AN

あんまし美しいと思えないなあその不等式

0067１３２人目の素数さん

2013/07/26(金) NY:AN:NY.AN

>>64
ｷｬｽﾌｨｰの解答から....

|x| < π/2 のとき、｜tan(x)| > |x|

　(d/dx)log(x+√(1+x^2)) = 1/√(1+x^2),
　(d/dx)sin(x) = cos(x) = 1/√{1+tan(x)^2},
から出る。

|x| > sinh(1) = 1.1752 のとき
　(左辺) = arcsinh(x) > 1 ≧ (右辺).

0068１３２人目の素数さん

2013/08/28(水) NY:AN:NY.AN

〔問題17〕
非負値の多項式、たとえば
　f(x,y,z) = (x^4)(y^2) + (x^2)(y^4) + (z^6) - 3(xyz)^2,
は
　{xy(x-y)}^2 + (2|xy| + z^2)(|xy| - z^2)^2,

のように、|xy| と z^2 の多項式によって表わせますが、

x, y, z の多項式の平方の和では表わせないでしょうか？

　(参) ヒルベルト「数学の問題」 No.17

0069１３２人目の素数さん

2013/09/28(土) 18:28:22.89

自然数 n≧2 に対して次を示せ。

(1) 　Σ_[k=1]^n (-1)^{k+1} n_C_k (1/n^2 )^k < 1/n

(2) 　Σ_[k=1]^n n_C_k { 1/(n^2-1) }^k > 1/n

(3) 　Σ_[k=1]^{2n} {2n}_C_k { 1/(n^2-1) }^k > 2/(n-1)

ただし、n_C_k　= n ! /( k! (n-k)! )　は二項係数とする。

0070１３２人目の素数さん

2013/09/28(土) 22:13:24.35

>>69
それ数セミ10月号の問題じゃん

0071１３２人目の素数さん

2013/10/04(金) 06:41:24.02

最近「不等式」のレベルを格段に押しげる本が出ると聞いた
いまこそ、学問の)いち分い地一分野になれるかどうか
ともきいやた。

がんばれ不等式
俺は創業以あなた方ファンです。

0072狢 ◆yEy4lYsULH68

2013/10/04(金) 07:10:46.99

狢

○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●
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○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●
●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○
○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●
●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○
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●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○
○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●
●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○

0073１３２人目の素数さん

2013/10/04(金) 11:32:39.72

>>71
> 最近「不等式」のレベルを格段に押しげる本が出ると聞いた

　ﾉ　　　　　∧　　　　　／)　∧
　彡　　ノW　＼从／V　　W　＼　　　ミ
　 (　　ノ　　　　　　　 |　　　　　　ノ　＼)
　　∩V　　　　　、、　|　　　　　　 >V7
　（ｅLＬ／￣￣＼/　 L／￣￣＼┘/3）
　　(┗（　　　　　　)⌒（　　　　　　）┛/
　　　~|　＼＿＿／ |　　＼＿＿／　|~　　　　／￣￣￣￣￣￣
　　　爻　　　　　< |　　；　　　　　爻　　　＜続けたまえ
　　　　~爻　　　　＼_／　　＿,　爻~.　　　　＼＿＿＿＿＿＿
　　　　~爻__／⌒￣￣￣~~ヽ_ 爻~
　　　　　／　　　　ー￣￣＼_￣＼
　＿一‘　　　　　＜￣￣＼＼＼Ｊ
＜＼　　　　　　　ー￣￣ヽ_ヽＪ　　￣＼_
　　＼　　　　　＿ニニニヽ　）　　　　　　 ~＼
　　　＼　　_／⌒|＼ヽ_~~ ~⌒＼_
　　＿＿／~　　　 V ＼_|　　　　　~＼＿

0074福地　裕

2013/10/04(金) 12:59:17.73

１．不等式　２１世紀の代数的不等式論　　安藤　哲哉　著　　数学書房
ソン何知ってるよたいしたことない。場合は笑って許して。でもここだけは
レベル上げといてね。他はたよりにならんから。

これは大田図書館（大田区）でみつけた。

0075福地　裕

2013/10/04(金) 13:05:05.59

もう一冊は楽しめそう。

美しい不等式の世界
ーーーー数学オリンピックの問題を題材としてーーーーー

砂糖　淳郎　訳　　朝倉書店

残念ながらともに大田図書館所蔵です

0076福地　裕

2013/10/04(金) 13:07:23.30

私は真摯な数学ファンのあなた方のファンです。がんばってください、

0077１３２人目の素数さん

2013/10/04(金) 17:05:18.87

安藤さんは数オリの問題を何問も解いた天才だな

0078１３２人目の素数さん

2013/10/07(月) 10:30:44.11

>>77 ご用ですか？
ところで，3変数4次巡回不等式
f(x,y,z) = Σx^4 + A Σx^3 y + B Σ x y^3 + C Σ x^2 y^2 + D Σ x^2 y z
が任意の非負整数 x, y, z に対して f(x,y,z) >= 0 を満たすための
A, B, C, D についての必要十分条件を求めました．
複雑でここに書けないので，以下のプレプリの
Theorem 3.5, Theorem 3.6をご覧下さい．
(2ch制限でLinkが貼れないので，
[安藤哲哉] → 論文・プレプリコーナー → 論文[9] で探して下さい)

0079１３２人目の素数さん

2013/10/07(月) 10:33:47.42

(直前の続き ---- 長すぎで2chで拒否されるので)
日本語で読みたい方は以下の正誤表の補遺(系2.3.9b, 系2.3.9c)をご覧ください．
(Linkを貼ろうとすると2chから怒られるので，
[安藤哲哉] → 「不等式」正誤表で探して下さい)
ここで，S_4=Σx^4, S_{3,1}=Σx^3 y, S_{1,3}=Σ x y^3, S_{2,2}=Σ x^2 y^2, US_1 = Σ x^2 y z です．

0080１３２人目の素数さん

2013/10/07(月) 10:44:43.57

すいません。>78 でタイプミスしました。
> が任意の非負整数 x, y, z に対して f(x,y,z) >= 0 を満たすための
が任意の非負実数 x, y, z に対して f(x,y,z) >= 0 を満たすための

0081１３２人目の素数さん

2013/10/08(火) 18:28:27.55

証明の肝が不等式であることは実際多いんだよ。
君が何を証明したいにしてもね。

0082１３２人目の素数さん

2013/10/13(日) 19:40:49.65

〔問題〕
0 < A,B,C ≦ π/2（△ABCは鈍角△でない）とき、
　cos(A)cos(A)cos(B) + cos(B)cos(B)cos(C) + cos(C)cos(C)cos(A) ≦ 2/(3√3),
　等号成立は (cosA, cosB, cosC) = (0, √（2/3), √(1/3)）またはその rotation.
を示せ。

　ｷｬｽﾌｨ! - 高校数学 - 不等式２ - 095

0083１３２人目の素数さん

2013/10/14(月) 03:23:11.65

>>69-70
　便宜上　C[n,n+1] = 0　としておく。

(1)　Σ_[k=1,n] (-1)^{k+1} C[n,k] (1/nn)^k
　　= C[n,1](1/nn) - Σ_[k=1,[n/2]] {C[n,2k](1/nn)^(2k) - C[n,2k+1] (1/nn)^(2k+1)}
　　= C[n,1](1/nn) - Σ_[k=1,[n/2]] C[n,2k](1/nn)^(2k) {1 - [(n-2k)/(2k+1)](1/nn)}
　　< C[n,1] (1/nn) = 1/n,

(2)　Σ_[k=1,n] C[n,k]{1/(nn-1)}^k > C[n,1]{1/(nn-1)} = n/(nn-1),

0084１３２人目の素数さん

2013/10/14(月) 03:26:51.02

>>69-70

(3)　Σ_[k=1,2n] C[2n,k]{1/(nn-1)}^k > C[2n,1]{1/(nn-1)} + C[2n,2]{1/(nn-1)}^2 + C[2n,3]{1/(nn-1)}^3
　　> C[2n,1]{1/(nn-1)} + C[2n,2]{1/(nn-1)}^2 + {6(nn-1)(n-2)/3!}{1/(nn-1)}^3
　　= C[2n,1]{1/(nn-1)} + n(2n-1){1/(nn-1)}^2 + (n-2){1/(nn-1)}^2
　　= C[2n,1]{1/(nn-1)} + 2(nn-1){1/(nn-1)}^2
　　= 2n{1/(nn-1)} + 2{1/(nn-1)}
　　= 2(n+1)/(nn-1)
　　= 2/(n-1),

0085１３２人目の素数さん

2013/10/16(水) 16:39:34.30

　S_{m,n} = a^m･b^n + b^m･c^n + c^m･a^n,　　>>79

[Corollary 2.6]
　f(a,b,c) = S_3 + p･S_{2,1} + q･S_{1,2} + r･U.
とおく。任意の a,b,c∈Ｒ_+ に対して f(a,b,c)≧0 が成り立つための条件は、
以下の２つの条件が成り立つことである。
(1)　f(1,1,1) = 3+3p+3q+r ≧ 0.
(2)　4p^3 + 4q^3 +27 ≧ (pq)^2 +18pq　or　"p≧0 and q≧0"

　//www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/ineq17.pdf

0086１３２人目の素数さん

2013/10/16(水) 17:27:41.96

>>78

〔定理2.3.9d.〕
　f(x,y,z) = S_4 + A･S_{3,1} + B･S_{1,3} + C･S_{2,2} + D･U･S_1,
は
　f(1,1,1) = 3(1+A+B+C+D) = 0,
を満たすとする。任意の非負実数 x,y,z に対して f(x,y,z)≧0 が成り立つための条件は、
以下の(1)～(6)のいずれかが成立することである。

0087１３２人目の素数さん

2013/10/16(水) 17:30:44.20

>>78 （続き)

(1)　C+2≧0, A+B≧0, A≦-2√(C+2), φ(A,B,C)≦0.
(2)　C+2≧0, A+B≧0, B≦-2√(C+2), φ(A,B,C)≦0.
(3)　C+2≧0, -√(C+4) ≦ A+B ≦ 0, A≧-2√(C+2), B≧-2√(C+2), φ(A,B,C)≧0.
(4)　C+2≧0, A+B≧0, A≧-2√(C+2), B≧-2√(C+2).
(5)　C≧0, AA+AB+BB ≦ 3C+3.
(6)　C+2≦0, A+B≧0, φ(A,B,C)≦0.
ここに、φ(A,B,C) = (ABC)^2 -4(AB)^3 +18(AA+BB)ABC -4(AA+BB)C^3 -(27A^4 +6AABB +27B^4) +16C^4 -80ABCC +144(AA+BB)C -192AB -128CC +256

　//www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/alg_ineq.pdf

0088１３２人目の素数さん

2013/10/19(土) 10:25:56.89

>> 87
その話で，f(1,1,1)=0という条件をはずした場合はどうなるのかというと，
実はかなり難しいのです。
「不等式」正誤表の末尾に，その話を追加しておきました。
長くて難しい話ですので，そちらをご覧下さい。
Linkは>>87の通りです。

0089１３２人目の素数さん

2013/10/19(土) 18:40:21.91

>>86-87

　(A,B,C,D) = (0,-3,2,0）　の場合が >>41-42

0090１３２人目の素数さん

2013/10/20(日) 00:02:09.40

>>41
　和書[8], p.74-75 例題2.3.10 (3)

〔類題〕
a,b,c∈R のとき
　(a^2+b^2+c^2)^2 + (8/√7)(aaab+bbbc+ccca) ≧ 0,

　和書[8], p.77-78 例題2.3.13 (2)

0091１３２人目の素数さん

2013/10/21(月) 23:40:17.56

〔問題〕　次式を代数的に示せ。

(1) x≧y≧1 のとき、
　1/(1+x^n) + (n-1)/(1+y^n) ≧ n/(1+x･y^(n-1)),

(2) a_1, a_2, ････, a_n ≧ 1 のとき、
　1/(1+a_1) + 1/(1+a_2) + ･･･････ + 1/(1+a_n) ≧ n/(1+G),
　ここに、G = (a_1･a_2･･････a_n)^(1/n),
　和書[8]、p.170 例題3.3.9 (10)

0092ななし

2013/10/22(火) 00:26:11.28

>>91

(1) n=1のときは明らかなので n≧2とする。
移項して分母を払うと
　{n + (n-1)x^n + y^n}{1+x･y^(n-1)} - n(1+x^n)(1+y^n)
　= {x･y^(n-1)}⊿_1 - ⊿_2
　≧ ⊿_1 - ⊿_2　　　(← x･y^(n-1) ≧1)
　= (x-y)^2 Σ[k=0,n-2] (k+1){x^k･y^(n-2-k) - x^(n-2-k)･y^k}
　= (x-y)^3 Σ[k=0,n-3] (k+1)(n-2-k) x^k y^(n-3-k)
　≧ 0,　　　　　　(← x-y≧0)
ここに
　⊿_1 = (n-1)x^n - n･x^(n-1)･y + y^n
　　　 = Σ[k=0,n-1] (x-y)(x^k - y^k)x^(n-1-k) ≧ 0,
　⊿_2 = x^n - n･x･y^(n-1) + (n-1)y^n
　　　 = Σ[k=0,n-1] (x-y)(x^k - y^k)y^(n-1-k) ≧ 0,

(2) nについての帰納法で。

和書[8] のような解析的な方法もあるが....

0093１３２人目の素数さん

2013/10/25(金) 13:26:38.30

確率関連の不等式（Markovの不等式とか，Hoeffdingの不等式とか）が充実してる本やサイトってない？

どの本にも載ってなさげなんだが．．．

0094１３２人目の素数さん

2013/10/25(金) 15:43:17.57

stochastic inequalities とか probability inequalities でAmazon検索すればいっぱい出てくる

0095１３２人目の素数さん

2013/10/30(水) 12:23:26.57

>>64
ｷｬｽﾌｨｰの解答から....

　|t| > ｜tanh(t)|

　(d/dt)arcsin(t) = 1/√(1-tt),
　(d/dt)sinh(t) = cosh(t) = 1/√{1-tanh(t)^2},
から |t|≦1 のとき
　arcsin(t) > sinh(t) > 0,
が出る。
　t > sin(sinh(t)) > 0,

|t| ≧ 1 でもこの式が成立つことは明らか。

　sinh(t) = x とおくと
　arcsinh(x) > sin(x) > 0,

0096１３２人目の素数さん

2013/11/07(木) 11:41:28.21

ｷｬｽﾌｨｰから....

〔問題〕
A,B,C>0, ABC ≧1 のとき
　(A+1)/(A+B+1) + (B+1)/(B+C+1) + (C+1)/(C+A+1) ≦ 2,
　B/(A+B+1) + C/(B+C+1) + A/(C+A+1) ≧ 1,
　等号成立は A=B=C=1.

casphy - 高校数学 - 不等式２ - 028(5), 112

0097１３２人目の素数さん

2013/11/15(金) 01:38:28.47

幾何的な不等式でもよければ
幾何学大辞典にもけっこう載ってるよね
著者本人が見つけたやつもいっぱい出てるからチェックしてみるといいよ

0098ななし

2013/11/15(金) 15:47:56.27

ｷｬｽﾌｨｰ! 不等式２のじゅーさんへ。
　まづはWEBで....

「一般化固有値問題」（明治大）
http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/labo/text/generalized-eigenvalue-problem/generalized-eigenvalue-problem.html

「極値としての固有値」（東京大）
http://www.misojiro.t.u-tokyo.ac.jp/~murota/lect-kisosuri/eigenmax070918.pdf

「§１固有値問題」（早稲田大）
http://www.waseda.jp/ocw/ComputerScience/17-1004345-01NumericalComputationsSpring2003/StudyMaterials/lec6.pdf

「Rayleigh商と2次形式の最大値,最小値」 - Quod Erat Demonstrandum
http://deepwave.web.fc2.com/rayleigh.pdf

0099ななし

2013/11/21(木) 00:38:50.46

同スレから....

(2) a,b,c >0 のとき
　(ab+bc+ca){1/(a+b)^2 + 1/(b+c)^2 + 1/(c+a)^2} ≧ 9/4,
　等号成立は a=b=c

(6) x,y,z >0 のとき
　xxx(yy+zz)^2 + yyy(zz+xx)^2 + zzz(xx+yy)^2
　- xyz{xy(x+y)^2 + yz(y+z)^2 + zx(z+x)^2} ≧ 0,

ｷｬｽﾌｨ! - 高校数学 - 不等式２ - 126～133

0100１３２人目の素数さん

2013/11/21(木) 01:47:49.32

ここで聞くのはスレチだとは思うがわかる人がいたら教えてほしい
以前は Live2ch でｷｬｽﾌｨ! を見れていたのだが
いつからか読み込めなくなった
同じ症状の人いない？

0101１３２人目の素数さん

2013/11/24(日) 14:28:07.16

>>99

〔Schur不等式の拡張〕
x,y,z≧0 で、x,y,z が△の三辺をなすとき
　x(a-b)(a-c) + y(b-c)(b-a) + z(c-a)(c-b) ≧0,
　（じゅー）

　ｷｬｽﾌｨ！ - 高校数学 - 不等式２ - 131～132

0102１３２人目の素数さん

2013/11/24(日) 20:20:27.12

>>99

〔Schur不等式の拡張〕
x,y,z≧0 で、x,y,z が a,b,c と同順または逆順のとき
　x(a-b)(a-c) + y(b-c)(b-a) + z(c-a)(c-b) ≧0,
　（じゅー）

　ｷｬｽﾌｨ！ - 高校数学 - 不等式２ - 131～132

0103１３２人目の素数さん

2013/11/26(火) 20:40:41.50

>>99 (6)
　yはxとzの中間にあるとしてよい。

　(左辺) - (右辺) = A(x-y)^2 + (A-B+C)(x-y)(y-z) + C(y-z)^2,
ここに
　A = yz(y^3 +z^3) + x(y-z)(y^3 -z^3) > 0,
　A-B+C = 2{(z+x)y - xz}y^3 ≧ 2{Max(x,z)min(x,z) - xz}y^3 = 0,
　C = xy(x^3 +y^3) + z(x-y)(x^3 -y^3) > 0,
より成立。

註)　z+x > Max(x,z) > 0,　y ≧ min(x,z) > 0,　を辺々掛けた。

0104１３２人目の素数さん

2013/12/19(木) 20:54:29.76

>>99

(1)　
a,b,cは相異なる正の実数とする。
　ab･log(a/b)/(a-b) + cyc. ≦ (1/3)(√a + √b + √c)^2,
を示せ。log は自然対数です。

(8)
任意の正の実数a,b,cに対し
　a/√(a+b) + b/√(b+c) + c/√(c+a) ≦ (5/4)√(a+b+c),
　等号成立は (a,b,c) = (3,1,0) またはその rotation.

　ｷｬｽﾌｨ! - 高校数学 - 不等式２ - 126

0105１３２人目の素数さん

2013/12/26(木) 01:23:03.85

|Aut(L/K)|≦[L:K]

0106１３２人目の素数さん

2014/01/02(木) 01:31:00.06

>>104 (1)

x>0 のとき
　2Log(x)/{x -(1/x)} = (2t)/{exp(t) - exp(-t)}
　= t/sinh(t)
　≦ 1,
より
　√(ab)･Log(a/b)/(a-b) = Log(a/b)/{√(a/b) - √(b/a)} ≦ 1,
よって
　(左辺) ≦ √(ab) + √(bc) + √(ca)
　　　　 ≦ (1/3)(√a + √b + √c)^2,

0107１３２人目の素数さん

2014/01/05(日) 07:45:41.88

↓の不等式うまい方法あるかな？

a[i],b[i],c[i]＞0および
a[i],{b[i]/c[i]}は減少列のとき
（Σa[i]b[i]）／（Σa[i]c[i]）≧（Σb[i]）／（Σc[i]）

0108１３２人目の素数さん

2014/01/05(日) 11:44:03.96

別にうまくないけど。
分数が嫌だから、b[i]/c[i]をあらためてb[i]として、式を整理すると、
(Σa[i]b[i]c[i]）(Σc[i]）≧(Σa[i]c[i])(Σb[i]c[i]）.
これは (左辺)-(右辺)＝Σ[i<j](a[i]-a[j])(b[i]-b[j])c[i]c[j]≧0 からいえる。

0109１３２人目の素数さん

2014/01/18(土) 19:41:47.51

〔問題158〕
　a,b,c >0,
　aa+bb+cc + abc = 2(ab+bc+ca),
のとき
　(ab+bc+ca) ≦ 3(a+b+c),
を示せ。

　ｷｬｽﾌｨ! - 高校数学 - 不等式２ - 158,161

0110１３２人目の素数さん

2014/01/19(日) 12:23:09.17

〔問題163〕
0≦a,b,c≦1 のとき,
　2(a^3+b^3+c^3) ≦ 3 + aab+bbc+cca,
等号成立は (a,b,c) = (0,1,1) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)

　ｷｬｽﾌｨ! - 高校数学 - 不等式２ - 163,164

0111１３２人目の素数さん

2014/01/19(日) 20:56:00.76

>>109
　
条件式と aa+bb ≧ 2ab から
　(c+ab)c ≦ (2a+2b)c,
c>0 で割って
　ab ≦ 2a+2b -c,
循環的にたす。

>>110

　1 +aab -(aa +b) = (1-aa)(1-b) ≧ 0,
から
　(aa+bb+cc) + (a+b+c) ≦ 3 + aab+bbc+cca,
が出る。

0112１３２人目の素数さん

2014/02/04(火) 00:05:10.49

x+y=2のとき、1/(1+x^2) + 1/(1+y^2) のとりうる範囲は？

普通にやったら泥臭くて吐いた。
(通分してq=xyのみの式に直したもの=kとおき、分母を払って整理した
qの2次方程式がqのとりうる範囲内に少なくとも1つの解を持つ云々)

きれいな解法求む。

0113１３２人目の素数さん

2014/02/05(水) 21:27:47.56

>>112

　xx+yy = (x+y)^2 -2xy = 4-2q,

　1/(1+xx) + 1/(1+yy) = (2+xx+yy)/(1+xx+yy+xxyy)
　= (6-2q)/(5-2q+qq) = k,
よって
　-(√2 - 1)/2 < k ≦ (√2 + 1)/2,

　最大は q = (√2 - 1)^2　のとき
　最小は q = (√2 + 1)^2　のとき

0114１３２人目の素数さん

2014/02/05(水) 21:29:49.64

入試問題や模試や大学への数学などから持ってきますた。（じゅー）

[1]
　|z+1/2| < 1/2 のとき
　|1+z+…+z^n| < 1 を示せ。 (東工大前期)

[2]
xx+yy+zz=1 のとき
　(1) (x-y)(y-z)(z-x)
　(2) (2x-y)(2y-z)(2z-x)
の取りうる最大の値を求めよ。 (大数宿題)

[3]
a,b,c>0, a+b+c+abc=4 のとき
　a+b+c ≧ ab+bc+ca を示せ。(大学宿題)

[4]
(xx+yy)^2 = xx-yy のとき
x+y の取りうる最大の値を求めよ。(早大プレ)

ｷｬｽﾌｨｰ! - 高校数学 - 不等式２ - 170

0115ななし

2014/02/05(水) 21:50:26.43

>>114 [3]

　a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
　s<3 と仮定すると、相加-相乗平均で u<1 となり題意を満たさない。
∴　3 ≦ s < 4,

　4s(s-t) = -s^3 +4ss -9u + F_1(a,b,c)
　　　　　= -s^3 +4ss -9(4-s) + F_1(a,b,c)
　　　　　= (4-s)(s-3)(s+3) + F_1(a,b,c)
　　　　　≧ 0,
ここに
　F_1(a,b,c) = s^3 -4st +9u ≧ 0,　(Schur)

0116ななし

2014/02/07(金) 20:38:22.91

>>114

[1]　zは中心-1/2, 半径1/2 の円内にある。
　　|z| ≦ |z +1/2| + 1/2 < 1,
また、|z|^2 = zz~ = (z +1/2)(z~ +1/2) -1/4 -(z+z~)/2 < -(z+z~)/2,
∴　|1 - z^(n+1)| ≦ 1 + |z|^(n+1)
　　< 1 + |z|^2
　　< √(1+3|z|^2)
　　< √{1 -(z+z~) +zz~}
　　= √{(1-z)(1-z~)}
　　= |1-z|,

[2]　(1)　x≦y≦z とする。
　(x-y)(y-x) ≦ (1/4)(z-x)^2,
　　　等号は y=(x+z)/2 のとき。
　∴ (x-z)^2 =　2{xx + [(x+z)/2]^2 + zz - (3/4)(x+z)^2}
　　　　　　 ≦ 2{(xx+yy+zz) - (3/4)(x+z)^2}
　　　　　　 =　2{1 - (3/4)(x+z)^2}
　　　　　　 ≦ 2,
　　　等号成立は (x,y,z) = (-1/√2, 0, 1/√2)
　(左辺) ≦ (1/4)(z-x)^3 ≦ 1/√2,
下限も同様に

[4]　軸を45ﾟ回す。
　u = (x+y)/√2,　v = (x-y)/√2,
与式は
　(uu+vv)^2 - 2uv = 0,
ここで、du/dv=0, とおくと、
　2v(uu+vv) -u = 0,
　u = 8v^3 = (√3)v,
　(u, v) = (±√{(3√3)/8}, ±√{(√3)/8})
　2(uu+vv) = u/v = √3,

0117ななし

2014/02/07(金) 21:06:57.69

>>114 [4]

連珠形とか、Jakob Bernoulli のレムニスケート（Lemniscate）
というらしい....

0118ななし

2014/02/09(日) 18:15:15.66

>>115

出題者によれば
”今のところ、対称性を崩さない綺麗な証明は見つかっていない。”

　Schur不等式にもそのまま言えそう...

0119115

2014/02/11(火) 22:14:41.65

>>118

F_1(a,b,c) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(c-a) + c(c-a)(c-b)
　　= (ab+ca)(a-b)(a-c)/(b+c) + ･････
　　= ab{(a-b)(a-c)/(b+c) + (b-c)(b-a)/(c+a)} + ･･････
　　= {ab(aa-bb)^2 + bc(bb-cc)^2 + ca(cc-aa)^2}/{(a+b)(b+c)(c+a)}
　　≧ 0　　　　　　　　　　　　　　　　　（じゅー）

0120１３２人目の素数さん

2014/02/11(火) 23:21:48.73

x^3+y^3+z^3=1 (x,y,z>0)の時
xxy+zzxの取りうる最大値を求めよ
(東進数学コンクール)

結局スマートな解法が思いつかないまま〆切を迎えてしまいました

0121１３２人目の素数さん

2014/02/12(水) 22:54:44.26

過去問でつが……

〔問題908〕
　正の実数 a,b,c に対して、次を示してくださいです。
　{(a+b+c)(aa+bb+cc)}^2 ≧ 27abc(a^3 +b^3 +c^3),

　2ch - 数学板 - 不等式スレ６ - 908
　ｷｬｽﾌｨｰ! - 高校数学 - 不等式１ - 964

0122１３２人目の素数さん

2014/02/15(土) 12:56:22.22

120 Chebyshev kills it
We could see a Golden Section

0123１３２人目の素数さん

2014/02/16(日) 15:57:03.91

>>121

　(a+b+c)(aa+bb+cc) = S+p+q,
ここに
　S = aaa + bbb + ccc,
　p = aab + bbc + cca,
　q = abb + bcc + caa,

　(左辺) = (S+p+q)^2
　　　≧ 9(Spq)^(2/3)
　　　≧ 9(SS･27SU)^(1/3)　　　　(← 補題)
　　　= 27Su,
ここに
　　S = aaa + bbb + ccc,
　　T = (ab)^3 + (bc)^3 + (ca)^3,
　　U = u^3 = (abc)^3,

〔補題〕
　pq ≧ 3(3STU)^(1/3) ≧ 3√(3SU),

(略証)
　pq = (aab+bbc+cca)(abb+bcc+caa)
　　 = T + uS + 3uu
　　 ≧ 3(3STU)^(1/3)
　　 ≧ 3√(3SU),　　　{← T≧√(3SU)}

0124１３２人目の素数さん

2014/02/16(日) 16:05:17.43

>>123

〔補題〕
　pq ≧ T + 2√(3SU) ≧ 3√(3SU),

(略証)
　pq = (aab+bbc+cca)(abb+bcc+caa)
　　 = T + uS + 3uu
　　 ≧ T + 2√(3SU)
　　 ≧ 3√(3SU),　　　{← T≧√(3SU)}

0125１３２人目の素数さん

2014/02/17(月) 18:51:56.53

>>112-113

　0 < k ≦ (√2 + 1),

　極大は q = (√2 - 1)^2 のとき
　下限は q → -∞ のとき

0126１３２人目の素数さん

2014/02/17(月) 23:49:38.94

(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

0127１３２人目の素数さん

2014/02/20(木) 20:58:32.81

〔問題179〕
x,y,z>0、xyz=1 のとき、
[Easy]
　xx+yy+zz ≧ 3 + 2(x-1)(y-1)(z-1),
[Hard]
　xx+yy+zz ≧ 3 + 2(1-x)(1-y)(1-z),
を示してくださいです。
[Hard] は [Easy] と比較して難しいかなぁって感じでつ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　（じゅー）

　ｷｬｽﾌｨｰ! - 高校数学 - 不等式２ - 179

0128ななし

2014/02/20(木) 21:12:45.27

>>127

Easy の方は
　(左辺)－(右辺) = (x+y+z+1)(x+y+z-3) - 2(xyz-1) ≧ 0 だが...

0129ななし

2014/02/21(金) 19:15:17.77

>>127

　x+y+z = s,
　xy+yz+zx = t,
　xyz = u,
とおくと Hard の方は
　(左辺)－(右辺) = (ss-2t) -3 +2(u-t+s-1)
　　 = (ss-4t) +2(u-1) +2s -3
　　 = {F_1(x,y,z) -9u}/s + 2(u-1) +2s -3
　　 = {F_1(x,y,z) +(2s-9)(u-1) +(s-3)(2s+3)}/s
　　 ≧ 0,　　　　　　　　　　　（天ぷら）
ここに
　F_1(x,y,z) = x(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y)
　　 = sss -4st +9u ≧ 0,　（Schur）

0130１３２人目の素数さん

2014/03/01(土) 10:21:13.88

0131１３２人目の素数さん

2014/03/01(土) 10:28:30.65

数オリ
http://www.imojp.org/challenge/old/images/jjmo12mq.jpg
http://www.imojp.org/challenge/old/images/jmo24mq.jpg

0132１３２人目の素数さん

2014/03/01(土) 12:30:14.33

　　∧＿∧
　　( ;´∀｀)　＜興奮してきた…
　人　Y　/
　(　ヽし
　（＿）＿）

0133１３２人目の素数さん

2014/03/01(土) 18:40:56.44

>>131 (2014年JMO本選)

〔問題5.〕
不等式
　a/{1+9bc+4(b-c)^2}　+ b/{1+9ca+4(c-a)^2} + c/{1+9ab+4(a-b)^2} ≧ 1/2,
が a+b+c=1 をみたす任意の非負実数a,b,cに対して成り立つことを示せ。

0134１３２人目の素数さん

2014/03/03(月) 02:35:18.55

>>130
イェンゼンをそのまま出すってつまらないな

0135１３２人目の素数さん

2014/03/05(水) 21:41:46.78

>>133

a+b+c=s のとき、コーシーにより、
　{a[ss+9bc+4(b-c)^2] + b[ss+9ca+4(c-a)^2] + c[ss+9ab+4(a-b)^2)]}(左辺)
　　≧ (a+b+c)^2 = ss,
よって
　(左辺) ≧ ss/{sss+27abc+4[s(ab+bc+ca)-9abc]}
　　= ss/{sss +4s(ab+bc+ca) -9abc}
　　≧ ss/(2sss)　　(← Schur)
　　= 1/(2s),　　　　(じゅー)

0136１３２人目の素数さん

2014/03/09(日) 23:29:23.76

この『じゅー』って今年阪大挑戦枠受かった子？

0137１３２人目の素数さん

2014/03/10(月) 01:21:57.02

知らんがなｗ

0138１３２人目の素数さん

2014/03/10(月) 01:30:38.44

自己紹介乙！

0139１３２人目の素数さん

2014/03/10(月) 08:24:33.61

阪大の合格発表見たけど
数学挑戦枠の合格者一人だけだった
去年に引き続きなかなかエグい試験だったってことだな

0140１３２人目の素数さん

2014/03/11(火) 04:31:34.09

この人
https://twitter.com/yjjswm

0141prime_132

2014/03/15(土) 21:42:02.66

いちょう祭が楽しみ...♪

ちなみに小生は学科違いの S53入、S59院卒だが何か？

0142１３２人目の素数さん

2014/03/15(土) 22:14:50.71

>>136-141

http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1331245369/
へ　ﾄﾞｿﾞｰ

0143１３２人目の素数さん

2014/03/17(月) 23:38:33.45

a,b,cは負でない実数でかつab+bc+ca+abc=4を満たす時
a+b+c≧ab+bc+ca

0144１３２人目の素数さん

2014/03/20(木) 23:49:29.60

>>114 [3] の類題？

>>115

0145ななし

2014/03/24(月) 20:20:36.02

>>143

s,t,u を >>115 のようにおく。
　t<3 と仮定すると、相加-相乗平均で u<1 となり題意を満たさない。
∴　3 ≦ t < 4,

s≧4 のときは明らか。
s<4 のとき
　(4s+9)(s-t) = -s^3 +4ss +9(s-t-u) + F_1(a,b,c)
　　　= -s^3 +4ss +9(s-4) + F_1(a,b,c)
　　　= (4-s)(s-3)(s+3) + F_1(a,b,c)
　　　≧ 0,　　　　(← s≧√(3t)≧3)
ここに
　F_1(a,b,c) = s^3 -4st +9u ≧ 0, (Schur)

0146１３２人目の素数さん

2014/03/29(土) 01:38:18.83

>>120

相加-相乗平均
　axxx + axxx + yyy ≧ (1/k)xxy,
　(1-2a)xxx + zzz/2 + zzz/2 ≧ (1/k)xzz,
を辺々たすと
　xxx+yyy+zzz ≧ (1/k)(xxy+xzz),

係数を比べて、
　aa = (1-2a)/4 = 1/(3k)^3,
aを消すと、
　k = (1/3)(1+√5)^(2/3) = 0.729273617

casphy - highmath - 不等式２ - 173-174
//twitter.com/Inequaltybot/　[181]

0147１３２人目の素数さん

2014/04/01(火) 22:21:02.29

正数x,y,zが xyz = 1 のとき
　x^3 + y^3 + z^3 + 1/x^3 +1/y^3 + 1/z^3 - 6*( x/z + y/x + z/y ) +12 ≧0

って成り立ちますか？

0148１３２人目の素数さん

2014/04/02(水) 09:59:59.81

ｘ＾２－ｘ－１＝０。
ｙ＝１。
ｚ＝ｘ－１。

0149１３２人目の素数さん

2014/04/05(土) 21:17:36.82

正変数a_1, a_2, ・・・, a_n について A_n = (a_1+a_2+・・・+a_n)/n , G_n = (a_1*a_2*・・・*a_n)^(1/n) とするとき

　n(A_n-G_n) ≧ (n-1)(A_(n-1) - G_(n-1))

が成り立つそうなのですがどう示されるのでしょう

0150１３２人目の素数さん

2014/04/07(月) 20:05:40.74

(a^4+b^4+c^4)^3≧(a^3+b^3+c^3)^4ってどうやって示せばいいんだっけ

0151１３２人目の素数さん

2014/04/07(月) 20:26:10.23

頭わるそうなやり方だけどlog取って12で割って増減調べりゃいいんじゃない

0152１３２人目の素数さん

2014/04/07(月) 22:52:36.08

a=b=cの時成り立たなさそうなんだがどうなの

0153１３２人目の素数さん

2014/04/14(月) 01:01:15.95

>>121-124
　//twitter.com/Inequalitybot/ [186]

0154１３２人目の素数さん

2014/04/14(月) 01:07:10.40

〔問題〕
a,b,c>0 に対して、次を示してくださいです。
　(a+b+c)^2･(a+b)(b+c)(c+a) ≧ 24abc(aa+bb+cc),

　//twitter.com/Inequalitybot/ [196]

0155１３２人目の素数さん

2014/04/19(土) 11:15:48.14

http://sothear.files.wordpress.com/2010/03/topics-in-inequalities-hojooleetin0508251.pdf#search='x%5E2y%5E2z%5E22xyz%3D1'
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

0156１３２人目の素数さん

2014/04/20(日) 08:45:13.02

√2 + √3 > π を証明せよ、ゆとり向けに。

0157１３２人目の素数さん

2014/05/04(日) 03:05:01.23

　2sinθ + tanθ > 3θ,
これは Snellius-Huygensの不等式として知られている。

この不等式で θ= π/4 - π/6 = π/12 として
　sinθ = sin(π/4 -π/6) = (√3 -1)/(2√2),
　tanθ = tan(π/4 -π/6) = 2-√3,
を使えば
　4{(√3 -1)/√2 +(2-√3)} > π,

√2 + √3 = 4{(√3 -1)/√2 +(2-√3)} + (√2 -1)^2･(2-√3)^2･(√3 -√2)
> 4{(√3 -1)/√2 +(2-√3)}
> π,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　ぬるぽ

0158１３２人目の素数さん

2014/05/04(日) 03:24:20.18

>>149
a_n = a と略記する。
n･A_n = (n-1)A_(n-1) + a,
n･G_n = n･{G_(n-1) ^(n-1)･a}^(1/n)
　≦ (n-1)G_(n-1) + a,　(←相乗･相加平均)
辺々引く。
　　　　　　　　　　　　　　　　ぬるぽ

0159１３２人目の素数さん

2014/05/04(日) 04:15:33.55

>>114-116

[1] ･･･ [183]
[2] ･･･ [182]
[3] ･･･ [184]
[4] ･･･ [178]

https://twitter.com/Inequalitybot/

0160１３２人目の素数さん

2014/05/07(水) 00:25:04.63

>>143-145

(別解)
a,b,c の2つが1以上、または2つが1以下。
a,b をその2つとすると
　4 = (a+b+c) + abc = (a+b)(1+c) + (1-a)(1-b)c ≧ (a+b)(1+c),
　(a+b+c) - (ab+bc+ca) = (a+b){4-(a+b)(1+c)}/4 +(a-b)^2･(1+c)/4 +(1-a)(1-b)c ≧0,

//www.casphy.com/bbs/highmath/ 不等式２ - 170[3] ～172
//twitter.com/Inequalitybot/ [184]

0161１３２人目の素数さん

2014/05/12(月) 21:26:52.73

> 154
f(a,b,c) = (a+b+c)^2 (a+b)(b+c)(c+a) - 24a b c(a^2+b^2+c^2)
とおく。x ≧ 0 のとき、
f(x,1,0) = x (1 + x)^3 ≧ 0
f(x,1,1) = 2(x+1)^2(x-2) ≧ 0
よって、安藤哲哉「不等式」定理2.3.1(2)より f(a,b,c) ≧ 0.

ところで、同書の記号で
f(a,b,c) = T_{4,1} + 3T_{3,2} + 10 US_{1,1} - 18 US_2
なので、定理2.4.1が使えない。そこで、次の定理を提案する。

定理2.4.1b
f(a,b,c) = T_{4,1} + p T_{3,2} + q US_2 - (2+2p+q) US_{1,1}
とおく。任意の非負実数 a,b,c に対して f≧0 となるための必要十分条件は
次の(1)と(2)が成立することである。
(1) p ≧ -1
(2) 2p+q+4 ≧ 0 または (2p+q)^2 + 8q ≦ 0

0162１３２人目の素数さん

2014/05/12(月) 21:27:39.56

0163１３２人目の素数さん

2014/05/13(火) 05:50:13.76

ついでに、S_5 と T_{4,1} の係数が 0 の場合は以下の通りです。

定理2.4.1c
f(a,b,c) = T_{3,2} + q US_2 - (2+2p+q) US_{1,1}
とおく。任意の非負実数 a,b,c に対して f≧0 となるための必要十分条件は
q ≧ -2

ここで(上の投稿を含めて)
T_{i,j} = Σ a^i b^j (6項対称和)
S_{i,j} = Σ a^i b^j (3項巡回和)
U = abc

0164１３２人目の素数さん

2014/05/28(水) 03:56:36.47

B4638、B4640、http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&;h=201405&t=mat&l=en

A616、B4626、B4628、http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&;h=201404&t=mat&l=en

B4620、http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&;h=201403&t=mat&l=en

A609、B4606、http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&;h=201402&t=mat&l=en

A605、http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&;h=201401&t=mat&l=en

B4585、http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&;h=201312&t=mat&l=en

A593、http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&;h=201309&t=mat&l=en

C1168、http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&;h=201304&t=mat&l=en

＿|　::|＿
￣|　::|／|　　　　　　　　　　 ┌──┐
　 |　::|　 |　　　　　.┌──┐| ∧＿∧　　いいな、俺たちの誰かが殉職したら･･
／|＿|　 |┌──┐| ∧＿∧|(・ω・｀ )
　 |文|　 | |　∧＿∧（　　　　）⊂　　　）
　 |￣|　 | | （　　　　）⊂　　　）（＿Ο Ο　:::
　 |　::|　 | | ⊂　　　）（＿Ο Ο　わかってる、生き延びた奴が
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　 |　::|　:::::::::::::::::::::::::::::::: 俺たちゃ死んでも仲間だぜ !!

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不等式への招待 第７章

不等式への招待　第７章