nを2以上の自然数とし
整式x^nをx^2-6x-12で割った余りをa[n]x+b[n]とする。

(2)a[n+1],b[n+1]をa[n],b[n]を用いて表せ。


解答で
x^(n+1)=x(x^2-6x-12)P(x)+a[n]x^2+b[n]x
(適宜読み取ってください)
で
x^(n+1)をx^2-6x-12で割った余り,
a[n+1]x+b[n+1]はa[n]x^2+b[n]xをx^2-6x-12で割った余りに等しい。

↑ここまでは分かります。
そして立式がわかりません。

a[n]x^2+b[n]x=(x^2-6x-12)a[n]+(6*a[n]+b[n])x+12a[n]
として係数を比較しているのかのように見えますが
このようになぜ式変形できるのかも分かりませんし、なぜあの"形"に整理されているのかも分かりません。
教えてくださいませんか？