>>732
t=2のときはｔ-2=0だから、(ｔ-2)ｇ(ｔ)≧0は成り立つ。
(ｔ-2)ｇ(ｔ)≧0が常に成り立つわけではないことを示したいのだから、成り立つ場合を考えても意味がないから。

「t<2のどこか」と「2<tのどこか」の両方にg(ｔ)が同符号になるtが存在していることが言えればよいだけなので
模範解答ではそのようにしか表現していないが、なぜそう言えるのかを厳密にそれを示すには
>>730がやっているようなことを言う必要がある。
しかし、この問題では、出題者、解答者、採点者のいずれにとっても、
そう言える理由は当たり前すぎていちいち説明する必要がなく、
g(ｔ)が3次関数であることを言うだけで十分だという判断で
厳密な理由を省いた模範解答が作られているのだと思う。

> 9(t^4-16)-8a(t^3-8)≧0
この途中式がなぜあるのかはよくわからない。単に因数分解の途中を書いているだけなのでは？
aについて整理せずに、いきなり(t-2)をくくっても問題ないと思う。