a＞0の定数として
すべての実数tに対し、
9t^4-8at^3+28a≧144-36aが成立する・・・①

①⇔9t^4-8at^3+64a-144≧0
⇔9(t^4-16)-8a(t^3-8)≧0
⇔(t-2){9(t^3+2t^2+4t+8)-8a(t^2+2t+4)}≧0・・・②
②の左辺の{}内をg(t)とおく。
【もしもg(2)＞0ならば、3次関数g(t)はt=2の前後で符号が変わらないから、①の左辺はt=2の前後で符号が変わる。よって条件①は成立しないg(2)＜0のときも、同様に条件①は成立しない。】
よってg(2)=0が必要であり・・・

【】内が分かりません。
t=2を選んだのは何となく分かりますが、その後の論証が分かりません。