>>397
単純に r を時間微分すると、
　　v = dr/dt = (1, t, t^2),
　　a = dv/dt = (0, 1, 2t),
になります。v の大きさ |v| を求めると、
　　|v| = √(v・v) = √[ 1^2 + t^2 + (t^2)^2 ]
　　　　= √[ 1 + t^2 + t^4 ].
となります。ここで v・v はベクトル v と v の内積で、一般に、
　　A・B = A_x*B_x + A_y*B_y + A_z*B_z,
と計算します (三次元の場合)。たとえば、A = (1,0,0) とした場合、
　　A・B = 1*B_x + 0*B_y + 0*B_z
　　　　　= B_x,
となり、A に平行な成分の大きさを計算することができます。
同様に、加速度の大きさ d|v|/dt を求めると、
　　d|v|/dt = (1/2)(2t + 4t^3)/√[ 1 + t^2 + t^4 ]
　　　　　　 = t(1 + 2t^2)/√[ 1 + t^2 + t^4 ].
となります。v に平行な単位ベクトルは、v を自身の大きさで割った v/|v| になるので、
このベクトルと加速度 a の内積をとれば、a の v に平行な成分が出ます。
具体的な計算の前に、t = 1 を代入すると、
　　v(1) = (1, 1, 1), 　a(1) = (0, 1, 2),
　　|v|(1) = √3, 　　　d|v|/dt(1) = √3 .
|a_t| = (v/|v|)・a は、
　　|a_t| = (1*0 + 1*1 + 1*2)/√3 = √3 (= d|v|/dt(1) ),
となります。あとは、v に平行な成分 a_t が分かったので、その分を a から引けば、
直交する方向の成分が分かります。
　　a_n = a - a_t
　　　　 = a - (|a_t|/|v|)v
　　　　 = (0, 1, 2) - (√3/√3)(1, 1, 1)
　　　　 = (-1, 0, 1),
となります。大きさは |a_n| = √[(-1)^2 + 0^2 +1^2] = √2 です。