>>392
位置ベクトル r(t) → 物体の軌跡 r(t)
加速度ベクトルの接線成分 → 加速度ベクトルの、物体の軌跡の方向ベクトルに平行な成分

のことかな？
dr/dt は速度ベクトルだけど、これを速度ベクトルの大きさ |v| = |dr/dt| でわったものが軌跡の方向ベクトル s(t) になる。
というのは、dr = r(t+dt) - r(t) であり、これは曲線上の二点を結ぶベクトルになっているから。
で、加速度は、
　　dv/dt = d/dt(dr/dt)
　　　　　　= (d/dt)( |v|(t)・s(t) )
　　　　　　= d|v|/dt・s(t) + |v|・ds/dt(t)
となるんだけど、とりあえず、s(t) 方向の成分には |v| の時間微分 d|v|/dt が出てくることが分かる。
残る第二項、 ds/dt がどういう方向のベクトルかというと、
　　ds = s(θ+dθ,φ+dφ) - s(θ,φ)
　　　　= s(θ+dθ,φ+dφ) - { s(θ,φ+dφ) - s(θ,φ+dφ) } - s(θ,φ),
だから、
　　ds/dt = (dθ/dt)(∂s/∂θ) + (dφ/dt)(∂s/∂φ) ,
と表されることになる。
とくに二次元平面の運動を考えると、s(θ) は、
　　s(θ) = ( sin[θ(t)], cos[θ(t)] )
となるので、その時間微分は、
　　ds/dt = (dθ/dt)( cos[θ(t)], -sin[θ(t)] )
と計算でき、ds/dt は s に対して直交する (内積がゼロ) になることが分かる。
だから、dv/dt の v 方向の成分は d|v|/dt だけとなる。

文章雑で申し訳ない。