平面と円柱の交線（空間内で斜めになっている楕円）をx,y,zの方程式で表すとき、式は2つ必要なのでしょうか？

例えば平面α：z=-y+1と円柱Ｃ：x^2+y^2=1の交線の式を求めようとして
αの式をＣの式に代入しても、yについての情報が得られず何も起こらないように見えます。

空間内で斜めになっている楕円を１つの式で、例えばx^2+y^2-yx-xyz-3=0のように表すことは不可能なのでしょうか。