Rを有理数体を部分環として含む一意分解整域、aをRの零でない元として、
1変数多項式環R[x]のイデアル(x+a,ax-1)が素イデアルであるのは
aがどのような元のときか。

という問題で、a=1なら（Rに有理数体が含まれているので（１＋１）の逆元が存在することから）
(x+a,ax-1)=(x)で素イデアルなのは分かるのですが、
aが単元なら同様にできるのか、単元でなくても素イデアルになり得そうな気もして
分かっていません。
有理数体を部分環として含む一意分解整域とは要するに
Q上の多変数多項式環を想定して変数を一つ増やす場合
（例えばQ[x,y}をQ[x}上の1変数多項式環だと思う）を考えていると思うのですが
Rをその場合に限定してもよく分からず、手も足も出なくなりつつあります。

ご回答よろしくおねがいします。