質問です。
R^pのLebesgue測度μ_pとR^qのLebesgue測度μ_qの直積測度の完備化がR^{p+q}のLebesgue測度μ_{p+q}に一致することの証明を教えてください。

ルベーグ積分入門(伊藤清三著)p.59にあった問題で、解答もついているのですが、
その解答ではμ_p，μ_qの定義域をBorel集合族に制限した測度から直積測度を構成しています。
そこでは直積測度の定義域はR^{p+q}のBorel集合族となって、この上でLebesgue測度に一致することがE.Hopfの拡張定理からわかり、
従ってその完備化がLebesgue測度になる、という流れです。

ところがR^NのLebesgue測度と言えばその定義域がLebesgue可測集合の全体(以下M_Nとします)であるものを指すはずですので、
それを用いて直積測度を構成してみたのですが、直積測度の定義域がBorel集合族より大きくなってしまう
（∵Lebesgue可測集合×Lebesgue可測集合が必ずしもBorel集合でない）ので、
結果として直積測度の完備化の定義域がM_{p+q}より大きく（⊂の意味で）なってしまいました。
実際にはイコールなんでしょうが、それがどうにも示せません。
得られた測度のM_{p+q}への制限がLebesgue測度に一致することは示せました。

どのようにイコールを示せば良いでしょうか。
あるいは、前述した同書の解答のようにあらかじめBorel集合族に制限してから直積測度を考えても問題ない理由があるのでしょうか。
それとも私が何か勘違いしているのでしょうか。
どなたかご教示ください。