要するに永田は、「K'がK上次数有限のとき、K'はKの有限次代数拡大体という」と定義してるわけだが、
次数の有限性の条件しか課していないにもかかわらず、「代数拡大体」という名前をつける理由を説明してるわけ。
入門書としては、拡大次数有限の場合、無限の場合、代数的な場合、超越的な場合をそれぞれ独立に説明するほうが丁寧だが
有限拡大なら必然的に代数拡大だから、こう定義しても問題ないということを説明している。
それを>>551が、変に文章を改変したことから誤解が生まれる。（改変の仕方からいって、>>551がこの部分を理解していないことも明らか）
K'が有限拡大なら、結果的には超越元など存在しはしないが、論理的操作として超越元xの存在を仮定し、矛盾を導いている。
だから、[K[x]: K]が有限ならK'⊇K(α)は自明ではないとか何とか言ってる奴も文章を読めていないと思う。
まあ、>>551の文章が日本語として意味不明に改変されているので、何か誤解するのも無理はないが。