K'はαを含む体でK[α]はαを含む最小環だからK(α)⊇K[α]は自明でしょう。
あとは>>614のいうように「K[x]が多項式環と同型ならK加群として次数有限でない」ことを
示せば証明は終わりでしょう。
おれは最初からこの部分を絞り込んで考えていたけどどうしても分らないから質問したんです。