何が分からないのかが分からない。
K[x]が多項式環と同型ならK加群として次数有限でないことなんか、ちょっと数学に慣れている人がその気になれば、たとえば背理法を使うなりして簡単に示せるだろう。
本に証明が書いてないことに文句つけてんの？そうだとしたら、この程度の事実に証明をつけなければいけない、数学教育的な理由でもあるの？
そもそも行間が空いていてはいけないという信念があるなら、なんで永田なんか読んでるの？永田が教科書としては不親切な本だということくらい、1章読めば分かると思うが。